Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (exp^x-1)/x

Gráfico de la función y = (exp^x-1)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x    
       E  - 1
f(x) = ------
         x
f(x)=ex−1xf{\left(x \right)} = \frac{e^{x} - 1}{x} 
f = (E^x - 1)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex−1x=0\frac{e^{x} - 1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (E^x - 1)/x.
−1+e00\frac{-1 + e^{0}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
exx−ex−1x2=0\frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x} - 1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
ex−2exx+2(ex−1)x2x=0\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−38076.6205637343x_{1} = -38076.6205637343
x2=−26210.1823018004x_{2} = -26210.1823018004
x3=−16038.9742925428x_{3} = -16038.9742925428
x4=−21972.1741457489x_{4} = -21972.1741457489
x5=−42314.6370890542x_{5} = -42314.6370890542
x6=−40619.4303623627x_{6} = -40619.4303623627
x7=−34686.2081625031x_{7} = -34686.2081625031
x8=−13496.1823781368x_{8} = -13496.1823781368
x9=−15191.3762140647x_{9} = -15191.3762140647
x10=−28752.9890385016x_{10} = -28752.9890385016
x11=−21124.5731417223x_{11} = -21124.5731417223
x12=−18581.7718990583x_{12} = -18581.7718990583
x13=−14343.7788634966x_{13} = -14343.7788634966
x14=−24514.9784989468x_{14} = -24514.9784989468
x15=−29600.5915120748x_{15} = -29600.5915120748
x16=−19429.3719797754x_{16} = -19429.3719797754
x17=−30448.1940837816x_{17} = -30448.1940837816
x18=−27057.7844226494x_{18} = -27057.7844226494
x19=−16886.5729892827x_{19} = -16886.5729892827
x20=−20276.9724079398x_{20} = -20276.9724079398
x21=−36381.4142572736x_{21} = -36381.4142572736
x22=−37229.0173858502x_{22} = -37229.0173858502
x23=−25362.5803223436x_{23} = -25362.5803223436
x24=−38924.2237877047x_{24} = -38924.2237877047
x25=−22819.7753899021x_{25} = -22819.7753899021
x26=−39771.8270548144x_{26} = -39771.8270548144
x27=−32143.3994905401x_{27} = -32143.3994905401
x28=−31295.7967456477x_{28} = -31295.7967456477
x29=−17734.1722156161x_{29} = -17734.1722156161
x30=−32991.0023120587x_{30} = -32991.0023120587
x31=−12648.5869326509x_{31} = -12648.5869326509
x32=−23667.3768483792x_{32} = -23667.3768483792
x33=−33838.605204445x_{33} = -33838.605204445
x34=−41467.0337078697x_{34} = -41467.0337078697
x35=−35533.8111815333x_{35} = -35533.8111815333
x36=−11800.9927549711x_{36} = -11800.9927549711
x37=−27905.3866720051x_{37} = -27905.3866720051
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(ex−2exx+2(ex−1)x2x)=13\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{1}{3}
lim⁡x→0+(ex−2exx+2(ex−1)x2x)=13\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{1}{3}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (E^x - 1)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(ex−1x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(ex−1x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex−1x=−−1+e−xx\frac{e^{x} - 1}{x} = - \frac{-1 + e^{- x}}{x}
- No
ex−1x=−1+e−xx\frac{e^{x} - 1}{x} = \frac{-1 + e^{- x}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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