Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
1/(x^2+4)
-
x^2*e^x
-
x-4
-
1/(1+x^2)
- Límite de la función:
-
1/(1-x)-3/(1-x^3)
- ¿cómo vas a descomponer esta expresión en fracciones?:
- 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- uno /(uno -x)- tres /(uno -x^ tres)
- 1 dividir por (1 menos x) menos 3 dividir por (1 menos x al cubo )
- uno dividir por (uno menos x) menos tres dividir por (uno menos x en el grado tres)
- 1/(1-x)-3/(1-x3)
- 1/1-x-3/1-x3
- 1/(1-x)-3/(1-x³)
- 1/(1-x)-3/(1-x en el grado 3)
- 1/1-x-3/1-x^3
- 1 dividir por (1-x)-3 dividir por (1-x^3)
-
Expresiones semejantes
- 1/(1-x)+3/(1-x^3)
- 1/(1+x)-3/(1-x^3)
- 1/(1-x)-3/(1+x^3)
Gráfico de la función y = 1/(1-x)-3/(1-x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
1 3
f(x) = ----- - ------
1 - x 3
1 - x
$$f{\left(x \right)} = - \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x}$$
f = -3/(1 - x^3) + 1/(1 - x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{9 x^{2}}{\left(1 - x^{3}\right)^{2}} + \frac{1}{\left(1 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 + \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2 - \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[-2 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{9 x^{2}}{\left(1 - x^{3}\right)^{2}} + \frac{1}{\left(1 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ 1 3
(-2 - \/ 3, --------- - -----------------)
___ 3
3 + \/ 3 / ___\
1 - \-2 - \/ 3 / ___ 1 3
(-2 + \/ 3, --------- - -----------------)
___ 3
3 - \/ 3 / ___\
1 - \-2 + \/ 3 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 + \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2 - \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[-2 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{27 x^{4}}{\left(x^{3} - 1\right)^{3}} - \frac{9 x}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{2} + \frac{81 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{243}{2} + \frac{81 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{27 x^{4}}{\left(x^{3} - 1\right)^{3}} - \frac{9 x}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -0.666666666666666$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{27 x^{4}}{\left(x^{3} - 1\right)^{3}} - \frac{9 x}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -0.666666666666666$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - 2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - 2, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{27 x^{4}}{\left(x^{3} - 1\right)^{3}} - \frac{9 x}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{2} + \frac{81 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{243}{2} + \frac{81 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{27 x^{4}}{\left(x^{3} - 1\right)^{3}} - \frac{9 x}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -0.666666666666666$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{27 x^{4}}{\left(x^{3} - 1\right)^{3}} - \frac{9 x}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -0.666666666666666$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - 2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - 2, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(1 - x) - 3/(1 - x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x} = - \frac{3}{x^{3} + 1} + \frac{1}{x + 1}$$
- No
$$- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x} = \frac{3}{x^{3} + 1} - \frac{1}{x + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x} = - \frac{3}{x^{3} + 1} + \frac{1}{x + 1}$$
- No
$$- \frac{3}{1 - x^{3}} + \frac{1}{1 - x} = \frac{3}{x^{3} + 1} - \frac{1}{x + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico