Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ |x^2-11|x|+10|

Gráfico de la función y = |x^2-11|x|+10|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       | 2     |       
f(x) = |x  - 11|*x*|10|
f(x)=x∣x2−11∣∣10∣f{\left(x \right)} = x \left|{x^{2} - 11}\right| \left|{10}\right| 
f = (x*|x^2 - 11|)*|10|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x∣x2−11∣∣10∣=0x \left|{x^{2} - 11}\right| \left|{10}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−11x_{2} = - \sqrt{11}
x3=11x_{3} = \sqrt{11}
Solución numérica
x1=3.3166247903554x_{1} = 3.3166247903554
x2=−3.3166247903554x_{2} = -3.3166247903554
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (|x^2 - 11|*x)*|10|.
0∣−11+02∣∣10∣0 \left|{-11 + 0^{2}}\right| \left|{10}\right|
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x2sign⁡(x2−11)+∣x2−11∣)∣10∣=0\left(2 x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 11 \right)} + \left|{x^{2} - 11}\right|\right) \left|{10}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.91485421551268x_{1} = -1.91485421551268
x2=1.91485421551268x_{2} = 1.91485421551268
Signos de extremos en los puntos:
(-1.9148542155126762, -14.042264247093*|10|)

(1.9148542155126762, 14.042264247093*|10|)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1.91485421551268x_{1} = -1.91485421551268
Puntos máximos de la función:
x1=1.91485421551268x_{1} = 1.91485421551268
Decrece en los intervalos
[−1.91485421551268,1.91485421551268]\left[-1.91485421551268, 1.91485421551268\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−1.91485421551268]∪[1.91485421551268,∞)\left(-\infty, -1.91485421551268\right] \cup \left[1.91485421551268, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(4x2δ(x2−11)+3sign⁡(x2−11))∣10∣=02 x \left(4 x^{2} \delta\left(x^{2} - 11\right) + 3 \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 11 \right)}\right) \left|{10}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x∣x2−11∣∣10∣)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left|{x^{2} - 11}\right| \left|{10}\right|\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x∣x2−11∣∣10∣)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left|{x^{2} - 11}\right| \left|{10}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (|x^2 - 11|*x)*|10|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣10∣∣x2−11∣)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{10}\right| \left|{x^{2} - 11}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(∣10∣∣x2−11∣)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left|{10}\right| \left|{x^{2} - 11}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x∣x2−11∣∣10∣=−x∣10∣∣x2−11∣x \left|{x^{2} - 11}\right| \left|{10}\right| = - x \left|{10}\right| \left|{x^{2} - 11}\right|
- No
x∣x2−11∣∣10∣=x∣10∣∣x2−11∣x \left|{x^{2} - 11}\right| \left|{10}\right| = x \left|{10}\right| \left|{x^{2} - 11}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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