Sr Examen

Otras calculadoras

xcos(1/x)
Trazado el gráfico de la función/ xcos(1/x)

Gráfico de la función y = xcos(1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /1\
f(x) = x*cos|-|
            \x/
f(x)=xcos⁡(1x)f{\left(x \right)} = x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} 
f = x*cos(1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xcos⁡(1x)=0x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2πx_{1} = - \frac{2}{\pi}
x2=2πx_{2} = \frac{2}{\pi}
Solución numérica
x1=−0.0129922402523996x_{1} = -0.0129922402523996
x2=0.00144358225026662x_{2} = 0.00144358225026662
x3=−0.0254647908947033x_{3} = -0.0254647908947033
x4=−0.010436389710944x_{4} = -0.010436389710944
x5=0.0276791205377209x_{5} = 0.0276791205377209
x6=−0.127323954473516x_{6} = -0.127323954473516
x7=0.00385830165071261x_{7} = 0.00385830165071261
x8=−0.0909456817667973x_{8} = -0.0909456817667973
x9=−0.000567903454386781x_{9} = -0.000567903454386781
x10=8.63916097662616⋅10−5x_{10} = 8.63916097662616 \cdot 10^{-5}
x11=0.0909456817667973x_{11} = 0.0909456817667973
x12=−0.0155273115211605x_{12} = -0.0155273115211605
x13=0.0374482219039754x_{13} = 0.0374482219039754
x14=−7.90537405150356⋅10−5x_{14} = -7.90537405150356 \cdot 10^{-5}
x15=−0.0205361216892768x_{15} = -0.0205361216892768
x16=−0.0192915082535631x_{16} = -0.0192915082535631
x17=0.00553582410754419x_{17} = 0.00553582410754419
x18=−0.0335063038088201x_{18} = -0.0335063038088201
x19=0.0235785100876882x_{19} = 0.0235785100876882
x20=0.0303152272555991x_{20} = 0.0303152272555991
x21=−0.00509295817894065x_{21} = -0.00509295817894065
x22=0.00236661625415458x_{22} = 0.00236661625415458
x23=−0.0303152272555991x_{23} = -0.0303152272555991
x24=0.00848826363156775x_{24} = 0.00848826363156775
x25=0.0172059397937184x_{25} = 0.0172059397937184
x26=0.010436389710944x_{26} = 0.010436389710944
x27=0.127323954473516x_{27} = 0.127323954473516
x28=0.0335063038088201x_{28} = 0.0335063038088201
x29=−0.636619772367581x_{29} = -0.636619772367581
x30=−0.00326471678137221x_{30} = -0.00326471678137221
x31=0.00190035752945547x_{31} = 0.00190035752945547
x32=0.0707355302630646x_{32} = 0.0707355302630646
x33=−0.00116383870633927x_{33} = -0.00116383870633927
x34=−0.00367988307726926x_{34} = -0.00367988307726926
x35=0.0120116938182563x_{35} = 0.0120116938182563
x36=−7.44671625181403⋅10−5x_{36} = -7.44671625181403 \cdot 10^{-5}
x37=−0.0578745247606892x_{37} = -0.0578745247606892
x38=0.0124827406346585x_{38} = 0.0124827406346585
x39=−0.00848826363156775x_{39} = -0.00848826363156775
x40=0.00115121116160503x_{40} = 0.00115121116160503
x41=0.00191177108819094x_{41} = 0.00191177108819094
x42=0.636619772367581x_{42} = 0.636619772367581
x43=−4.56260139301642⋅10−5x_{43} = -4.56260139301642 \cdot 10^{-5}
x44=−0.0489707517205832x_{44} = -0.0489707517205832
x45=5.45658500357917⋅10−5x_{45} = 5.45658500357917 \cdot 10^{-5}
x46=0.00478661482983144x_{46} = 0.00478661482983144
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*cos(1/x).
0cos⁡(10)0 \cos{\left(\frac{1}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(1x)+sin⁡(1x)x=0\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(1x)x3=0- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23πx_{1} = \frac{2}{3 \pi}
x2=2πx_{2} = \frac{2}{\pi}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−cos⁡(1x)x3)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→0+(−cos⁡(1x)x3)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[23π,2π]\left[\frac{2}{3 \pi}, \frac{2}{\pi}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,23π]∪[2π,∞)\left(-\infty, \frac{2}{3 \pi}\right] \cup \left[\frac{2}{\pi}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xcos⁡(1x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xcos⁡(1x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*cos(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(1x)=1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞cos⁡(1x)=1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xcos⁡(1x)=−xcos⁡(1x)x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = - x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}
- No
xcos⁡(1x)=xcos⁡(1x)x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = xcos(1/x)
    © Sr Examen – Калькулятор