Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (log(3*x+2))/x^2

Gráfico de la función y = (log(3*x+2))/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(3*x + 2)
f(x) = ------------
             2     
            x
f(x)=log⁡(3x+2)x2f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{x^{2}} 
f = log(3*x + 2)/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(3x+2)x2=0\frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Solución numérica
x1=−0.333333333333333x_{1} = -0.333333333333333
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(3*x + 2)/x^2.
log⁡(0⋅3+2)02\frac{\log{\left(0 \cdot 3 + 2 \right)}}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2(3x+2)−2log⁡(3x+2)x3=0\frac{3}{x^{2} \left(3 x + 2\right)} - \frac{2 \log{\left(3 x + 2 \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=45300.5879055141x_{1} = 45300.5879055141
x2=43218.0190536496x_{2} = 43218.0190536496
x3=44259.6091491924x_{3} = 44259.6091491924
x4=27504.2211025408x_{4} = 27504.2211025408
x5=31713.7126029775x_{5} = 31713.7126029775
x6=35907.9972351282x_{6} = 35907.9972351282
x7=49458.7397957045x_{7} = 49458.7397957045
x8=34860.7140579662x_{8} = 34860.7140579662
x9=26449.1246932315x_{9} = 26449.1246932315
x10=28558.174732813x_{10} = 28558.174732813
x11=32763.607291801x_{11} = 32763.607291801
x12=47380.783293281x_{12} = 47380.783293281
x13=36954.4768841542x_{13} = 36954.4768841542
x14=30662.8716201751x_{14} = 30662.8716201751
x15=50496.9168414124x_{15} = 50496.9168414124
x16=51534.5787252644x_{16} = 51534.5787252644
x17=38000.1827304015x_{17} = 38000.1827304015
x18=52571.7388356401x_{18} = 52571.7388356401
x19=40089.3824052297x_{19} = 40089.3824052297
x20=42175.7983619252x_{20} = 42175.7983619252
x21=39045.1425615862x_{21} = 39045.1425615862
x22=33812.5954880903x_{22} = 33812.5954880903
x23=41132.9266854406x_{23} = 41132.9266854406
x24=53608.4099408452x_{24} = 53608.4099408452
x25=48420.0335351419x_{25} = 48420.0335351419
x26=29611.0412564979x_{26} = 29611.0412564979
x27=46340.9735366077x_{27} = 46340.9735366077
Signos de extremos en los puntos:
(45300.587905514134, 5.75968671314715e-9)

(43218.01905364956, 6.30295446019717e-9)

(44259.609149192416, 6.02193927024416e-9)

(27504.221102540836, 1.49649676039635e-8)

(31713.712602977546, 1.13974931243923e-8)

(35907.997235128154, 8.98672837798586e-9)

(49458.739795704525, 4.86782795728042e-9)

(34860.71405796623, 9.51044053345461e-9)

(26449.12469323154, 1.61268185252232e-8)

(28558.174732813015, 1.39268772418209e-8)

(32763.607291801, 1.07090817860131e-8)

(47380.783293281034, 5.28504353482493e-9)

(36954.476884154166, 8.50599636289094e-9)

(30662.87162017514, 1.21562429898751e-8)

(50496.9168414124, 4.67787459760698e-9)

(51534.57872526436, 4.49904959341657e-9)

(38000.18273040146, 8.06361779489966e-9)

(52571.738835640055, 4.33049138857726e-9)

(40089.382405229735, 7.27837056780266e-9)

(42175.79836192517, 6.60458924917291e-9)

(39045.14256158622, 7.65557614620553e-9)

(33812.595488090294, 1.00824851044884e-8)

(41132.92668544059, 6.92893809481599e-9)

(53608.40994084518, 4.17142074368903e-9)

(48420.03353514192, 5.06986426400606e-9)

(29611.04125649793, 1.29953906436391e-8)

(46340.97353660767, 5.51454557922146e-9)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(−3(3x+2)2−4x(3x+2)+2log⁡(3x+2)x2)x2=0\frac{3 \left(- \frac{3}{\left(3 x + 2\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(3 x + 2\right)} + \frac{2 \log{\left(3 x + 2 \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=11028.8868095822x_{1} = 11028.8868095822
x2=11278.5733373327x_{2} = 11278.5733373327
x3=12027.0605415605x_{3} = 12027.0605415605
x4=4233.61381907963x_{4} = 4233.61381907963
x5=10779.1002162637x_{5} = 10779.1002162637
x6=11528.1626729929x_{6} = 11528.1626729929
x7=6513.59565486163x_{7} = 6513.59565486163
x8=11777.6575438605x_{8} = 11777.6575438605
x9=4742.21649407986x_{9} = 4742.21649407986
x10=10279.2145372991x_{10} = 10279.2145372991
x11=4996.04544900762x_{11} = 4996.04544900762
x12=8274.96641346692x_{12} = 8274.96641346692
x13=9278.0967436856x_{13} = 9278.0967436856
x14=5502.86388330909x_{14} = 5502.86388330909
x15=8525.95407981471x_{15} = 8525.95407981471
x16=7772.54765976361x_{16} = 7772.54765976361
x17=10029.1088631004x_{17} = 10029.1088631004
x18=3211.81641803675x_{18} = 3211.81641803675
x19=8023.83295673205x_{19} = 8023.83295673205
x20=5755.88834447734x_{20} = 5755.88834447734
x21=10529.2105261227x_{21} = 10529.2105261227
x22=2955.17712719642x_{22} = 2955.17712719642
x23=7017.71285043971x_{23} = 7017.71285043971
x24=9027.51417074017x_{24} = 9027.51417074017
x25=6765.74943313631x_{25} = 6765.74943313631
x26=9528.55389092141x_{26} = 9528.55389092141
x27=9778.88991618375x_{27} = 9778.88991618375
x28=7269.49494353544x_{28} = 7269.49494353544
x29=7521.10400316657x_{29} = 7521.10400316657
x30=8776.80158337075x_{30} = 8776.80158337075
x31=12276.3741315866x_{31} = 12276.3741315866
x32=5249.58840638645x_{32} = 5249.58840638645
x33=4488.0805821838x_{33} = 4488.0805821838
x34=6261.24163199901x_{34} = 6261.24163199901
x35=2697.94797882468x_{35} = 2697.94797882468
x36=6008.67651468855x_{36} = 6008.67651468855
x37=3978.78874524551x_{37} = 3978.78874524551
x38=12525.600661984x_{38} = 12525.600661984
x39=3467.93082080922x_{39} = 3467.93082080922
x40=12774.7423712679x_{40} = 12774.7423712679
x41=3723.57351650685x_{41} = 3723.57351650685
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(3(−3(3x+2)2−4x(3x+2)+2log⁡(3x+2)x2)x2)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 \left(- \frac{3}{\left(3 x + 2\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(3 x + 2\right)} + \frac{2 \log{\left(3 x + 2 \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(3(−3(3x+2)2−4x(3x+2)+2log⁡(3x+2)x2)x2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \left(- \frac{3}{\left(3 x + 2\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(3 x + 2\right)} + \frac{2 \log{\left(3 x + 2 \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(3x+2)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(3x+2)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(3*x + 2)/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(3x+2)xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(3x+2)xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(3x+2)x2=log⁡(2−3x)x2\frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{x^{2}} = \frac{\log{\left(2 - 3 x \right)}}{x^{2}}
- No
log⁡(3x+2)x2=−log⁡(2−3x)x2\frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{x^{2}} = - \frac{\log{\left(2 - 3 x \right)}}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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