Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ atan(36/(x-158))-atan(51/(x-291))-157*2/50/180

Gráfico de la función y = atan(36/(x-158))-atan(51/(x-291))-157*2/50/180

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                       /157\
                                       |---|
           /   36  \       /   51  \   \ 25/
f(x) = atan|-------| - atan|-------| - -----
           \x - 158/       \x - 291/    180
f(x)=(−atan⁡(51x−291)+atan⁡(36x−158))−125⋅157180f{\left(x \right)} = \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{x - 291} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{36}{x - 158} \right)}\right) - \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180} 
f = -atan(51/(x - 291)) + atan(36/(x - 158)) - 157/25/180
Gráfico de la función
0-800000-600000-400000-200000200000400000600000800000-10000001000000-0.038-0.034
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=158x_{1} = 158
x2=291x_{2} = 291
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−atan⁡(51x−291)+atan⁡(36x−158))−125⋅157180=0\left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{x - 291} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{36}{x - 158} \right)}\right) - \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(36/(x - 158)) - atan(51/(x - 291)) - 157/25/180.
(atan⁡(36−158)−atan⁡(51−291))−125⋅157180\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{36}{-158} \right)} - \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{-291} \right)}\right) - \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180}
Resultado:
f(0)=−atan⁡(1879)−1574500+atan⁡(1797)f{\left(0 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{18}{79} \right)} - \frac{157}{4500} + \operatorname{atan}{\left(\frac{17}{97} \right)}
Punto:
(0, -157/4500 - atan(18/79) + atan(17/97))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−36(1+1296(x−158)2)(x−158)2+51(1+2601(x−291)2)(x−291)2=0- \frac{36}{\left(1 + \frac{1296}{\left(x - 158\right)^{2}}\right) \left(x - 158\right)^{2}} + \frac{51}{\left(1 + \frac{2601}{\left(x - 291\right)^{2}}\right) \left(x - 291\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−8065+2654065x_{1} = - \frac{806}{5} + \frac{26 \sqrt{5406}}{5}
x2=−2654065−8065x_{2} = - \frac{26 \sqrt{5406}}{5} - \frac{806}{5}
Signos de extremos en los puntos:
                                                     /157\                              
              ______                                 |---|                              
   806   26*\/ 5406         /         51         \   \ 25/       /         36         \ 
(- --- + -----------, - atan|--------------------| - ----- + atan|--------------------|)
    5         5             |              ______|    180        |              ______| 
                            |  2261   26*\/ 5406 |               |  1596   26*\/ 5406 | 
                            |- ---- + -----------|               |- ---- + -----------| 
                            \   5          5     /               \   5          5     / 

                                                     /157\                              
              ______                                 |---|                              
   806   26*\/ 5406         /         51         \   \ 25/       /         36         \ 
(- --- - -----------, - atan|--------------------| - ----- + atan|--------------------|)
    5         5             |              ______|    180        |              ______| 
                            |  2261   26*\/ 5406 |               |  1596   26*\/ 5406 | 
                            |- ---- - -----------|               |- ---- - -----------| 
                            \   5          5     /               \   5          5     /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−8065+2654065x_{1} = - \frac{806}{5} + \frac{26 \sqrt{5406}}{5}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−8065+2654065,∞)\left[- \frac{806}{5} + \frac{26 \sqrt{5406}}{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−8065+2654065]\left(-\infty, - \frac{806}{5} + \frac{26 \sqrt{5406}}{5}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=158x_{1} = 158
x2=291x_{2} = 291
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−atan⁡(51x−291)+atan⁡(36x−158))−125⋅157180)=−1574500\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{x - 291} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{36}{x - 158} \right)}\right) - \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180}\right) = - \frac{157}{4500}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1574500y = - \frac{157}{4500}
lim⁡x→∞((−atan⁡(51x−291)+atan⁡(36x−158))−125⋅157180)=−1574500\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{x - 291} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{36}{x - 158} \right)}\right) - \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180}\right) = - \frac{157}{4500}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−1574500y = - \frac{157}{4500}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(36/(x - 158)) - atan(51/(x - 291)) - 157/25/180, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−atan⁡(51x−291)+atan⁡(36x−158))−125⋅157180x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{x - 291} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{36}{x - 158} \right)}\right) - \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−atan⁡(51x−291)+atan⁡(36x−158))−125⋅157180x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{x - 291} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{36}{x - 158} \right)}\right) - \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−atan⁡(51x−291)+atan⁡(36x−158))−125⋅157180=−atan⁡(51−x−291)+atan⁡(36−x−158)−125⋅157180\left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{x - 291} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{36}{x - 158} \right)}\right) - \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{- x - 291} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{36}{- x - 158} \right)} - \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180}
- No
(−atan⁡(51x−291)+atan⁡(36x−158))−125⋅157180=atan⁡(51−x−291)−atan⁡(36−x−158)+125⋅157180\left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{x - 291} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{36}{x - 158} \right)}\right) - \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180} = \operatorname{atan}{\left(\frac{51}{- x - 291} \right)} - \operatorname{atan}{\left(\frac{36}{- x - 158} \right)} + \frac{\frac{1}{25} \cdot 157}{180}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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