Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 4*sin(x+pi/4)-3

Gráfico de la función y = 4*sin(x+pi/4)-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /    pi\    
f(x) = 4*sin|x + --| - 3
            \    4 /
f(x)=4sin⁡(x+π4)−3f{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3 
f = 4*sin(x + pi/4) - 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4sin⁡(x+π4)−3=04 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4+asin⁡(34)x_{1} = - \frac{\pi}{4} + \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{4} \right)}
x2=−asin⁡(34)+3π4x_{2} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{4} \right)} + \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=75.4608876017391x_{1} = 75.4608876017391
x2=108.322282633264x_{2} = 108.322282633264
x3=44.0449610658411x_{3} = 44.0449610658411
x4=−23.6246088175075x_{4} = -23.6246088175075
x5=−6.22052139159555x_{5} = -6.22052139159555
x6=6.34584922276362x_{6} = 6.34584922276362
x7=−17.3414235103279x_{7} = -17.3414235103279
x8=45.490429561468x_{8} = 45.490429561468
x9=−43.9196332346731x_{9} = -43.9196332346731
x10=−61.323720660585x_{10} = -61.323720660585
x11=−4.77505289596872x_{11} = -4.77505289596872
x12=89.4727267117251x_{12} = 89.4727267117251
x13=−87.9019303849302x_{13} = -87.9019303849302
x14=−42.4741647390462x_{14} = -42.4741647390462
x15=−94.1851156921098x_{15} = -94.1851156921098
x16=51.7736148686476x_{16} = 51.7736148686476
x17=−100.468300999289x_{17} = -100.468300999289
x18=37.7617757586615x_{18} = 37.7617757586615
x19=0.0626639155840327x_{19} = 0.0626639155840327
x20=−67.6069059677646x_{20} = -67.6069059677646
x21=58.0568001758271x_{21} = 58.0568001758271
x22=−56.4860038490322x_{22} = -56.4860038490322
x23=100.593628830457x_{23} = 100.593628830457
x24=−69.0523744633914x_{24} = -69.0523744633914
x25=−92.7396471964829x_{25} = -92.7396471964829
x26=−75.335559770571x_{26} = -75.335559770571
x27=76.9063560973659x_{27} = 76.9063560973659
x28=−207.282451221342x_{28} = -207.282451221342
x29=70.6231707901863x_{29} = 70.6231707901863
x30=−25.0700773131343x_{30} = -25.0700773131343
x31=62.8945169873799x_{31} = 62.8945169873799
x32=−18.7868920059547x_{32} = -18.7868920059547
x33=26.6408736399292x_{33} = 26.6408736399292
x34=39.2072442542884x_{34} = 39.2072442542884
x35=−31.3532626203139x_{35} = -31.3532626203139
x36=−11.0582382031483x_{36} = -11.0582382031483
x37=−8218.34371787532x_{37} = -8218.34371787532
x38=−99.0228325036625x_{38} = -99.0228325036625
x39=81.7440729089187x_{39} = 81.7440729089187
x40=170049.63528592x_{40} = 170049.63528592
x41=−29.9077941246871x_{41} = -29.9077941246871
x42=18.9122198371228x_{42} = 18.9122198371228
x43=32.9240589471088x_{43} = 32.9240589471088
x44=1.50813241121086x_{44} = 1.50813241121086
x45=20.3576883327496x_{45} = 20.3576883327496
x46=−12.5037066987751x_{46} = -12.5037066987751
x47=31.478590451482x_{47} = 31.478590451482
x48=25.1954051443024x_{48} = 25.1954051443024
x49=88.0272582160982x_{49} = 88.0272582160982
x50=12.6290345299432x_{50} = 12.6290345299432
x51=−37.6364479274935x_{51} = -37.6364479274935
x52=−50.2028185418527x_{52} = -50.2028185418527
x53=64.3399854830067x_{53} = 64.3399854830067
x54=7.79131771839045x_{54} = 7.79131771839045
x55=−86.4564618893033x_{55} = -86.4564618893033
x56=−80.1732765821238x_{56} = -80.1732765821238
x57=−81.6187450777506x_{57} = -81.6187450777506
x58=−182.149709992624x_{58} = -182.149709992624
x59=69.1777022945595x_{59} = 69.1777022945595
x60=−36.1909794318667x_{60} = -36.1909794318667
x61=−48.7573500462258x_{61} = -48.7573500462258
x62=94.3104435232778x_{62} = 94.3104435232778
x63=50.3281463730207x_{63} = 50.3281463730207
x64=−62.7691891562118x_{64} = -62.7691891562118
x65=56.6113316802003x_{65} = 56.6113316802003
x66=−55.0405353534054x_{66} = -55.0405353534054
x67=83.1895414045455x_{67} = 83.1895414045455
x68=95.7559120189047x_{68} = 95.7559120189047
x69=−73.8900912749442x_{69} = -73.8900912749442
x70=14.07450302557x_{70} = 14.07450302557
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*sin(x + pi/4) - 3.
−3+4sin⁡(π4)-3 + 4 \sin{\left(\frac{\pi}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=−3+22f{\left(0 \right)} = -3 + 2 \sqrt{2}
Punto:
(0, -3 + 2*sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4cos⁡(x+π4)=04 \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=5π4x_{2} = \frac{5 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi            /pi   pi\ 
(--, -3 + 4*sin|-- + --|)
 4             \4    4 / 

 5*pi            /pi   pi\ 
(----, -3 - 4*sin|-- + --|)
  4              \4    4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π4x_{1} = \frac{5 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]∪[5π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π4,5π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4sin⁡(x+π4)=0- 4 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π4,3π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4sin⁡(x+π4)−3)=⟨−7,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(4 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3\right) = \left\langle -7, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−7,1⟩y = \left\langle -7, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(4sin⁡(x+π4)−3)=⟨−7,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(4 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3\right) = \left\langle -7, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−7,1⟩y = \left\langle -7, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*sin(x + pi/4) - 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4sin⁡(x+π4)−3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4sin⁡(x+π4)−3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4sin⁡(x+π4)−3=−4sin⁡(x−π4)−34 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3 = - 4 \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} - 3
- No
4sin⁡(x+π4)−3=4sin⁡(x−π4)+34 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3 = 4 \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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