Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(a)*cos(a)

Gráfico de la función y = sin(a)*cos(a)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(a) = sin(a)*cos(a)
f(a)=sin⁡(a)cos⁡(a)f{\left(a \right)} = \sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)} 
f = sin(a)*cos(a)
Gráfico de la función
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.53.00.00.51.01.52.02.51-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje A con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(a)cos⁡(a)=0\sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje A:

Solución analítica
a1=0a_{1} = 0
a2=−π2a_{2} = - \frac{\pi}{2}
a3=π2a_{3} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
a1=73.8274273593601a_{1} = 73.8274273593601
a2=34.5575191894877a_{2} = 34.5575191894877
a3=14.1371669411541a_{3} = 14.1371669411541
a4=58.1194640914112a_{4} = 58.1194640914112
a5=92.6769832808989a_{5} = 92.6769832808989
a6=−43.9822971502571a_{6} = -43.9822971502571
a7=28.2743338823081a_{7} = 28.2743338823081
a8=36.1283155162826a_{8} = 36.1283155162826
a9=−7.85398163397448a_{9} = -7.85398163397448
a10=−58.1194640914112a_{10} = -58.1194640914112
a11=−48.6946861306418a_{11} = -48.6946861306418
a12=86.3937979737193a_{12} = 86.3937979737193
a13=51.8362787842316a_{13} = 51.8362787842316
a14=−42.4115008234622a_{14} = -42.4115008234622
a15=−89.5353906273091a_{15} = -89.5353906273091
a16=59.6902604182061a_{16} = 59.6902604182061
a17=−40.8407044966673a_{17} = -40.8407044966673
a18=1.5707963267949a_{18} = 1.5707963267949
a19=56.5486677646163a_{19} = 56.5486677646163
a20=100.530964914873a_{20} = 100.530964914873
a21=15.707963267949a_{21} = 15.707963267949
a22=−15.707963267949a_{22} = -15.707963267949
a23=−37.6991118430775a_{23} = -37.6991118430775
a24=−72.2566310325652a_{24} = -72.2566310325652
a25=65.9734457253857a_{25} = 65.9734457253857
a26=−36.1283155162826a_{26} = -36.1283155162826
a27=12.5663706143592a_{27} = 12.5663706143592
a28=21.9911485751286a_{28} = 21.9911485751286
a29=−6.28318530717959a_{29} = -6.28318530717959
a30=−65.9734457253857a_{30} = -65.9734457253857
a31=81.6814089933346a_{31} = 81.6814089933346
a32=−14.1371669411541a_{32} = -14.1371669411541
a33=−64.4026493985908a_{33} = -64.4026493985908
a34=80.1106126665397a_{34} = 80.1106126665397
a35=95.8185759344887a_{35} = 95.8185759344887
a36=78.5398163397448a_{36} = 78.5398163397448
a37=45.553093477052a_{37} = 45.553093477052
a38=−17.2787595947439a_{38} = -17.2787595947439
a39=4.71238898038469a_{39} = 4.71238898038469
a40=20.4203522483337a_{40} = 20.4203522483337
a41=−23.5619449019235a_{41} = -23.5619449019235
a42=−51.8362787842316a_{42} = -51.8362787842316
a43=−29.845130209103a_{43} = -29.845130209103
a44=7.85398163397448a_{44} = 7.85398163397448
a45=−95.8185759344887a_{45} = -95.8185759344887
a46=−97.3893722612836a_{46} = -97.3893722612836
a47=−39.2699081698724a_{47} = -39.2699081698724
a48=37.6991118430775a_{48} = 37.6991118430775
a49=−21.9911485751286a_{49} = -21.9911485751286
a50=−50.2654824574367a_{50} = -50.2654824574367
a51=−94.2477796076938a_{51} = -94.2477796076938
a52=−53.4070751110265a_{52} = -53.4070751110265
a53=23.5619449019235a_{53} = 23.5619449019235
a54=−86.3937979737193a_{54} = -86.3937979737193
a55=−61.261056745001a_{55} = -61.261056745001
a56=−67.5442420521806a_{56} = -67.5442420521806
a57=−59.6902604182061a_{57} = -59.6902604182061
a58=113.097335529233a_{58} = 113.097335529233
a59=−45.553093477052a_{59} = -45.553093477052
a60=−87.9645943005142a_{60} = -87.9645943005142
a61=−83.2522053201295a_{61} = -83.2522053201295
a62=−28.2743338823081a_{62} = -28.2743338823081
a63=42.4115008234622a_{63} = 42.4115008234622
a64=67.5442420521806a_{64} = 67.5442420521806
a65=6.28318530717959a_{65} = 6.28318530717959
a66=−73.8274273593601a_{66} = -73.8274273593601
a67=0a_{67} = 0
a68=−1.5707963267949a_{68} = -1.5707963267949
a69=87.9645943005142a_{69} = 87.9645943005142
a70=43.9822971502571a_{70} = 43.9822971502571
a71=−483.805268652828a_{71} = -483.805268652828
a72=70.6858347057703a_{72} = 70.6858347057703
a73=−75.398223686155a_{73} = -75.398223686155
a74=−9.42477796076938a_{74} = -9.42477796076938
a75=−119.380520836412a_{75} = -119.380520836412
a76=−31.4159265358979a_{76} = -31.4159265358979
a77=31.4159265358979a_{77} = 31.4159265358979
a78=72.2566310325652a_{78} = 72.2566310325652
a79=26.7035375555132a_{79} = 26.7035375555132
a80=94.2477796076938a_{80} = 94.2477796076938
a81=590.619418874881a_{81} = 590.619418874881
a82=48.6946861306418a_{82} = 48.6946861306418
a83=−81.6814089933346a_{83} = -81.6814089933346
a84=−20.4203522483337a_{84} = -20.4203522483337
a85=−80.1106126665397a_{85} = -80.1106126665397
a86=64.4026493985908a_{86} = 64.4026493985908
a87=29.845130209103a_{87} = 29.845130209103
a88=89.5353906273091a_{88} = 89.5353906273091
a89=50.2654824574367a_{89} = 50.2654824574367
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando a es igual a 0:
sustituimos a = 0 en sin(a)*cos(a).
sin⁡(0)cos⁡(0)\sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddaf(a)=0\frac{d}{d a} f{\left(a \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddaf(a)=\frac{d}{d a} f{\left(a \right)} =
primera derivada
−sin⁡2(a)+cos⁡2(a)=0- \sin^{2}{\left(a \right)} + \cos^{2}{\left(a \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
a1=−π4a_{1} = - \frac{\pi}{4}
a2=π4a_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi        
(----, -1/2)
  4         

 pi      
(--, 1/2)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
a1=−π4a_{1} = - \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
a1=π4a_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2da2f(a)=0\frac{d^{2}}{d a^{2}} f{\left(a \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2da2f(a)=\frac{d^{2}}{d a^{2}} f{\left(a \right)} =
segunda derivada
−4sin⁡(a)cos⁡(a)=0- 4 \sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
a1=0a_{1} = 0
a2=−π2a_{2} = - \frac{\pi}{2}
a3=π2a_{3} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con a->+oo y a->-oo
lim⁡a→−∞(sin⁡(a)cos⁡(a))=⟨−1,1⟩\lim_{a \to -\infty}\left(\sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡a→∞(sin⁡(a)cos⁡(a))=⟨−1,1⟩\lim_{a \to \infty}\left(\sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(a)*cos(a), dividida por a con a->+oo y a ->-oo
lim⁡a→−∞(sin⁡(a)cos⁡(a)a)=0\lim_{a \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)}}{a}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡a→∞(sin⁡(a)cos⁡(a)a)=0\lim_{a \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)}}{a}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-a) и f = -f(-a).
Pues, comprobamos:
sin⁡(a)cos⁡(a)=−sin⁡(a)cos⁡(a)\sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)} = - \sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)}
- No
sin⁡(a)cos⁡(a)=sin⁡(a)cos⁡(a)\sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)} = \sin{\left(a \right)} \cos{\left(a \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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