Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(2x)-2sin(x)

Gráfico de la función y = cos(2x)-2sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(2*x) - 2*sin(x)
f(x)=−2sin⁡(x)+cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} 
f = -2*sin(x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2sin⁡(x)+cos⁡(2x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−91.4809213868127x_{1} = -91.4809213868127
x2=53.0323406783177x_{2} = 53.0323406783177
x3=−97.7641066939923x_{3} = -97.7641066939923
x4=19.2242903542475x_{4} = 19.2242903542475
x5=−41.215438929376x_{5} = -41.215438929376
x6=−72.631365465274x_{6} = -72.631365465274
x7=−100.156230482165x_{7} = -100.156230482165
x8=75.7729581188638x_{8} = 75.7729581188638
x9=2.76685822088105x_{9} = 2.76685822088105
x10=15.3332288352402x_{10} = 15.3332288352402
x11=21.6164141424198x_{11} = 21.6164141424198
x12=63.2065875045046x_{12} = 63.2065875045046
x13=34.182784756779x_{13} = 34.182784756779
x14=−34.9322536221965x_{14} = -34.9322536221965
x15=27.8995994495994x_{15} = 27.8995994495994
x16=−16.0826977006577x_{16} = -16.0826977006577
x17=94.6225140404025x_{17} = 94.6225140404025
x18=−129.18003322989x_{18} = -129.18003322989
x19=0.37473443270874x_{19} = 0.37473443270874
x20=40.4659700639586x_{20} = 40.4659700639586
x21=−60.0649948509148x_{21} = -60.0649948509148
x22=−53.7818095437352x_{22} = -53.7818095437352
x23=−24.7580067960096x_{23} = -24.7580067960096
x24=38.0738462757863x_{24} = 38.0738462757863
x25=−62.4571186390871x_{25} = -62.4571186390871
x26=31.7906609686067x_{26} = 31.7906609686067
x27=−93.8730451749851x_{27} = -93.8730451749851
x28=65.5987112926769x_{28} = 65.5987112926769
x29=−37.3243774103688x_{29} = -37.3243774103688
x30=−87.5898598678055x_{30} = -87.5898598678055
x31=−12.1916361816504x_{31} = -12.1916361816504
x32=−47.4986242365556x_{32} = -47.4986242365556
x33=−28.6490683150169x_{33} = -28.6490683150169
x34=−66.3481801580944x_{34} = -66.3481801580944
x35=56.923402197325x_{35} = 56.923402197325
x36=78.1650819070361x_{36} = 78.1650819070361
x37=735.50741537272x_{37} = 735.50741537272
x38=100.905699347582x_{38} = 100.905699347582
x39=84.4482672142157x_{39} = 84.4482672142157
x40=44.3570315829658x_{40} = 44.3570315829658
x41=88.339328733223x_{41} = 88.339328733223
x42=69.4897728116842x_{42} = 69.4897728116842
x43=6.65791973988833x_{43} = 6.65791973988833
x44=−78.9145507724536x_{44} = -78.9145507724536
x45=−75.0234892534463x_{45} = -75.0234892534463
x46=−85.1977360796332x_{46} = -85.1977360796332
x47=−5.90845087447085x_{47} = -5.90845087447085
x48=2126.48349204758x_{48} = 2126.48349204758
x49=97.0146378285748x_{49} = 97.0146378285748
x50=−3.51632708629853x_{50} = -3.51632708629853
x51=−9.79951239347812x_{51} = -9.79951239347812
x52=−56.1739333319075x_{52} = -56.1739333319075
x53=46.7491553711382x_{53} = 46.7491553711382
x54=−18.47482148883x_{54} = -18.47482148883
x55=−68.7403039462667x_{55} = -68.7403039462667
x56=9.05004352806064x_{56} = 9.05004352806064
x57=82.0561434260434x_{57} = 82.0561434260434
x58=50.6402168901454x_{58} = 50.6402168901454
x59=−150.421712939601x_{59} = -150.421712939601
x60=90.7314525213953x_{60} = 90.7314525213953
x61=−43.6075627175484x_{61} = -43.6075627175484
x62=71.8818965998565x_{62} = 71.8818965998565
x63=−49.890748024728x_{63} = -49.890748024728
x64=−22.3658830078373x_{64} = -22.3658830078373
x65=25.5074756614271x_{65} = 25.5074756614271
x66=−81.3066745606259x_{66} = -81.3066745606259
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2*x) - 2*sin(x).
−2sin⁡(0)+cos⁡(0⋅2)- 2 \sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(2x)−2cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π6x_{3} = - \frac{\pi}{6}
x4=π2x_{4} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -5*pi      
(-----, 3/2)
   6        

 -pi     
(----, 1)
  2      

 -pi       
(----, 3/2)
  6        

 pi     
(--, -3)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=−5π6x_{2} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[−π6,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(sin⁡(x)−2cos⁡(2x))=02 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−215−338−i(1+33)8)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} - \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x2=−ilog⁡(−233+158−i(1−33)8)x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x3=−ilog⁡(233+158−i(1−33)8)x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(215−338−33i8−i8)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} - \frac{\sqrt{33} i}{8} - \frac{i}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π+atan⁡(−2(−33−1)215−33),−atan⁡(−2(−33−1)215−33)]∪[atan⁡(2(−1+33)233+15),∞)\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{33} - 1\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{33} - 1\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(−2(−33−1)215−33)]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{33} - 1\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2sin⁡(x)+cos⁡(2x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(−2sin⁡(x)+cos⁡(2x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x) - 2*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2sin⁡(x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2sin⁡(x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2sin⁡(x)+cos⁡(2x)=2sin⁡(x)+cos⁡(2x)- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}
- No
−2sin⁡(x)+cos⁡(2x)=−2sin⁡(x)−cos⁡(2x)- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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