Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos(x/3)+1

Gráfico de la función y = cos(x/3)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\    
f(x) = cos|-| + 1
          \3/
f(x)=cos⁡(x3)+1f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1 
f = cos(x/3) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x3)+1=0\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3πx_{1} = 3 \pi
Solución numérica
x1=65.9734466656459x_{1} = 65.9734466656459
x2=−47.1238892339559x_{2} = -47.1238892339559
x3=9.42477828364719x_{3} = 9.42477828364719
x4=−9.42477658006982x_{4} = -9.42477658006982
x5=28.2743326778891x_{5} = 28.2743326778891
x6=−65.9734471669578x_{6} = -65.9734471669578
x7=−28.2743310539003x_{7} = -28.2743310539003
x8=−103.672556133526x_{8} = -103.672556133526
x9=47.1238897836275x_{9} = 47.1238897836275
x10=9.42477739402688x_{10} = 9.42477739402688
x11=65.9734496550071x_{11} = 65.9734496550071
x12=−9.424778905987x_{12} = -9.424778905987
x13=23495.9714577684x_{13} = 23495.9714577684
x14=−28.2743345778791x_{14} = -28.2743345778791
x15=−84.8230031826845x_{15} = -84.8230031826845
x16=65.9734457530057x_{16} = 65.9734457530057
x17=84.823000552695x_{17} = 84.823000552695
x18=47.1238893703748x_{18} = 47.1238893703748
x19=−28.2743328502299x_{19} = -28.2743328502299
x20=−28.274332356029x_{20} = -28.274332356029
x21=65.973449200012x_{21} = 65.973449200012
x22=−65.9734441237693x_{22} = -65.9734441237693
x23=9.42477644878639x_{23} = 9.42477644878639
x24=−28.2743342852867x_{24} = -28.2743342852867
x25=−47.1238885000614x_{25} = -47.1238885000614
x26=−103.672556179644x_{26} = -103.672556179644
x27=−84.8230001004278x_{27} = -84.8230001004278
x28=47.1238898180831x_{28} = 47.1238898180831
x29=−47.1238882805255x_{29} = -47.1238882805255
x30=28.2743347048405x_{30} = 28.2743347048405
x31=84.8230010300176x_{31} = 84.8230010300176
x32=28.2743353277095x_{32} = 28.2743353277095
x33=47.1238902640918x_{33} = 47.1238902640918
x34=−28.2743337041057x_{34} = -28.2743337041057
x35=−65.973444487036x_{35} = -65.973444487036
x36=103.672560042967x_{36} = 103.672560042967
x37=−65.9734448054309x_{37} = -65.9734448054309
x38=84.8230029651094x_{38} = 84.8230029651094
x39=9.42477857411892x_{39} = 9.42477857411892
x40=−47.1238906645642x_{40} = -47.1238906645642
x41=−65.9734442370237x_{41} = -65.9734442370237
x42=28.2743352495238x_{42} = 28.2743352495238
x43=28.2743338651733x_{43} = 28.2743338651733
x44=84.8230013509188x_{44} = 84.8230013509188
x45=47.1238882655668x_{45} = 47.1238882655668
x46=84.8230022399184x_{46} = 84.8230022399184
x47=−103.672561360559x_{47} = -103.672561360559
x48=−9.42477649339056x_{48} = -9.42477649339056
x49=−28.2743328840357x_{49} = -28.2743328840357
x50=103.672556203947x_{50} = 103.672556203947
x51=28.2743323982258x_{51} = 28.2743323982258
x52=28.2743329655993x_{52} = 28.2743329655993
x53=−28.2743353334451x_{53} = -28.2743353334451
x54=65.9734449275366x_{54} = 65.9734449275366
x55=−9.42477726195834x_{55} = -9.42477726195834
x56=28.2743304203258x_{56} = 28.2743304203258
x57=−47.1238901244433x_{57} = -47.1238901244433
x58=47.1238910361097x_{58} = 47.1238910361097
x59=−9.42477813943337x_{59} = -9.42477813943337
x60=−47.1238909371531x_{60} = -47.1238909371531
x61=−65.9734470685728x_{61} = -65.9734470685728
x62=−47.1238870896323x_{62} = -47.1238870896323
x63=84.82300316301x_{63} = 84.82300316301
x64=−84.8230028759433x_{64} = -84.8230028759433
x65=−84.8230021042216x_{65} = -84.8230021042216
x66=−47.1238913434704x_{66} = -47.1238913434704
x67=−47.1238903314038x_{67} = -47.1238903314038
x68=47.1238885910376x_{68} = 47.1238885910376
x69=9.42477666029867x_{69} = 9.42477666029867
x70=84.8230001090646x_{70} = 84.8230001090646
x71=103.672556103604x_{71} = 103.672556103604
x72=−84.8230014829494x_{72} = -84.8230014829494
x73=−9.42478044884868x_{73} = -9.42478044884868
x74=−216.769897336347x_{74} = -216.769897336347
x75=65.9734443589411x_{75} = 65.9734443589411
x76=−84.8230012105749x_{76} = -84.8230012105749
x77=−9.4247794819084x_{77} = -9.4247794819084
x78=9.42477904486572x_{78} = 9.42477904486572
x79=28.2743324300573x_{79} = 28.2743324300573
x80=−65.9734465446611x_{80} = -65.9734465446611
x81=65.9734472216308x_{81} = 65.9734472216308
x82=−84.8230004308799x_{82} = -84.8230004308799
x83=65.9734469290305x_{83} = 65.9734469290305
x84=9.42477909729197x_{84} = 9.42477909729197
x85=65.9734442942041x_{85} = 65.9734442942041
x86=47.123891348278x_{86} = 47.123891348278
x87=−28.2743352595136x_{87} = -28.2743352595136
x88=−9.42477898962262x_{88} = -9.42477898962262
x89=−84.8230015302339x_{89} = -84.8230015302339
x90=9.42477950690576x_{90} = 9.42477950690576
x91=84.8230005314505x_{91} = 84.8230005314505
x92=−65.9734457649013x_{92} = -65.9734457649013
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x/3) + 1.
cos⁡(03)+1\cos{\left(\frac{0}{3} \right)} + 1
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x3)3=0- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

(3*pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3πx_{1} = 3 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[3π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,3π]\left[0, 3 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x3)9=0- \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
x2=9π2x_{2} = \frac{9 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3π2,9π2]\left[\frac{3 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,3π2]∪[9π2,∞)\left(-\infty, \frac{3 \pi}{2}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x3)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x3)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/3) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x3)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x3)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x3)+1=cos⁡(x3)+1\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1 = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1
- No
cos⁡(x3)+1=−cos⁡(x3)−1\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1 = - \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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