Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x-pi)-1

Gráfico de la función y = cos(x-pi)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x - pi) - 1
f(x)=cos⁡(x−π)−1f{\left(x \right)} = \cos{\left(x - \pi \right)} - 1 
f = cos(x - pi) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x−π)−1=0\cos{\left(x - \pi \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
Solución numérica
x1=91.1061873718352x_{1} = 91.1061873718352
x2=−91.106187265474x_{2} = -91.106187265474
x3=−21.9911490521325x_{3} = -21.9911490521325
x4=65.9734452390837x_{4} = 65.9734452390837
x5=−9.42477744529557x_{5} = -9.42477744529557
x6=−15.7079635641079x_{6} = -15.7079635641079
x7=−34.5575188899093x_{7} = -34.5575188899093
x8=−53.4070745786761x_{8} = -53.4070745786761
x9=−65.9734449870253x_{9} = -65.9734449870253
x10=9.42477748794163x_{10} = 9.42477748794163
x11=34.5575197055812x_{11} = 34.5575197055812
x12=53.4070766553897x_{12} = 53.4070766553897
x13=21.9911489072506x_{13} = 21.9911489072506
x14=9.42477826738203x_{14} = 9.42477826738203
x15=65.9734460390947x_{15} = 65.9734460390947
x16=−21.9911485864417x_{16} = -21.9911485864417
x17=34.5575195449229x_{17} = 34.5575195449229
x18=72.2566310277176x_{18} = 72.2566310277176
x19=−1127.83176318906x_{19} = -1127.83176318906
x20=−84.8230012511693x_{20} = -84.8230012511693
x21=−72.2566308657983x_{21} = -72.2566308657983
x22=−47.1238893275319x_{22} = -47.1238893275319
x23=78.5398152766482x_{23} = 78.5398152766482
x24=3.14159306054457x_{24} = 3.14159306054457
x25=−9.4247781365785x_{25} = -9.4247781365785
x26=−40.8407049290801x_{26} = -40.8407049290801
x27=−15.7079632965989x_{27} = -15.7079632965989
x28=−53.4070745963886x_{28} = -53.4070745963886
x29=34.5575190219169x_{29} = 34.5575190219169
x30=28.2743343711514x_{30} = 28.2743343711514
x31=40.8407045848602x_{31} = 40.8407045848602
x32=65.9734457529812x_{32} = 65.9734457529812
x33=−84.8230020565447x_{33} = -84.8230020565447
x34=78.5398161804942x_{34} = 78.5398161804942
x35=72.2566315166773x_{35} = 72.2566315166773
x36=−59.6902606928653x_{36} = -59.6902606928653
x37=3.1415922548952x_{37} = 3.1415922548952
x38=84.8230021335997x_{38} = 84.8230021335997
x39=59.6902606104322x_{39} = 59.6902606104322
x40=78.5398166181283x_{40} = 78.5398166181283
x41=−91.1061864815274x_{41} = -91.1061864815274
x42=15.7079627593774x_{42} = 15.7079627593774
x43=−47.1238901083229x_{43} = -47.1238901083229
x44=15.7079629803241x_{44} = 15.7079629803241
x45=40.8407045792514x_{45} = 40.8407045792514
x46=47.1238902162437x_{46} = 47.1238902162437
x47=97.389372581711x_{47} = 97.389372581711
x48=−28.2743337069329x_{48} = -28.2743337069329
x49=−65.9734457649277x_{49} = -65.9734457649277
x50=28.2743335663982x_{50} = 28.2743335663982
x51=−97.3893724533348x_{51} = -97.3893724533348
x52=−97.3893716284562x_{52} = -97.3893716284562
x53=−15.707962774825x_{53} = -15.707962774825
x54=−59.6902604578012x_{54} = -59.6902604578012
x55=−72.2566311847166x_{55} = -72.2566311847166
x56=−3.14159217367683x_{56} = -3.14159217367683
x57=78.5398168562347x_{57} = 78.5398168562347
x58=15.7079634518075x_{58} = 15.7079634518075
x59=−28.2743340989896x_{59} = -28.2743340989896
x60=−34.5575196658297x_{60} = -34.5575196658297
x61=40.8407049800347x_{61} = 40.8407049800347
x62=21.9911480932338x_{62} = 21.9911480932338
x63=84.8230013636028x_{63} = 84.8230013636028
x64=−40.8407049008781x_{64} = -40.8407049008781
x65=59.6902599104079x_{65} = 59.6902599104079
x66=−97.3893717476911x_{66} = -97.3893717476911
x67=53.4070746418597x_{67} = 53.4070746418597
x68=−40.8407040952604x_{68} = -40.8407040952604
x69=−78.5398160472843x_{69} = -78.5398160472843
x70=97.3893717959212x_{70} = 97.3893717959212
x71=28.2743338651796x_{71} = 28.2743338651796
x72=91.1061865667532x_{72} = 91.1061865667532
x73=−65.9734453607004x_{73} = -65.9734453607004
x74=−28.2743343914215x_{74} = -28.2743343914215
x75=−3.14159295109225x_{75} = -3.14159295109225
x76=40.8407042062167x_{76} = 40.8407042062167
x77=−53.407075294995x_{77} = -53.407075294995
x78=−21.991148226056x_{78} = -21.991148226056
x79=15.707963957033x_{79} = 15.707963957033
x80=59.6902600526626x_{80} = 59.6902600526626
x81=−72.2566315419804x_{81} = -72.2566315419804
x82=21.9911485852059x_{82} = 21.9911485852059
x83=72.2566306985x_{83} = 72.2566306985
x84=−78.5398168194507x_{84} = -78.5398168194507
x85=−65.9734461969855x_{85} = -65.9734461969855
x86=78.5398149750205x_{86} = 78.5398149750205
x87=47.123889410773x_{87} = 47.123889410773
x88=53.407075424589x_{88} = 53.407075424589
x89=−59.6902599212271x_{89} = -59.6902599212271
x90=−9.42477752082051x_{90} = -9.42477752082051
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x - pi) - 1.
cos⁡(−π)−1\cos{\left(- \pi \right)} - 1
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, -2)

(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
cos⁡(x)=0\cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x−π)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x - \pi \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x−π)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x - \pi \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x - pi) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x−π)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x - \pi \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x−π)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x - \pi \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x−π)−1=−cos⁡(x)−1\cos{\left(x - \pi \right)} - 1 = - \cos{\left(x \right)} - 1
- No
cos⁡(x−π)−1=cos⁡(x)+1\cos{\left(x - \pi \right)} - 1 = \cos{\left(x \right)} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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