Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x)*ch(x)-1

Gráfico de la función y = cos(x)*ch(x)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x)*cosh(x) - 1
f(x)=cos⁡(x)cosh⁡(x)−1f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} - 1 
f = cos(x)*cosh(x) - 1
Gráfico de la función
6012345-6-5-4-3-2-1-250250
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)cosh⁡(x)−1=0\cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=10.9956078380017x_{1} = 10.9956078380017
x2=23.5619449020405x_{2} = 23.5619449020405
x3=−17.2787596573995x_{3} = -17.2787596573995
x4=7.85320462409584x_{4} = 7.85320462409584
x5=26.7035375555082x_{5} = 26.7035375555082
x6=29.8451302091033x_{6} = 29.8451302091033
x7=−4.7300407448627x_{7} = -4.7300407448627
x8=17.2787596573995x_{8} = 17.2787596573995
x9=−20.4203522456261x_{9} = -20.4203522456261
x10=−26.7035375555082x_{10} = -26.7035375555082
x11=−7.85320462409584x_{11} = -7.85320462409584
x12=14.1371654912575x_{12} = 14.1371654912575
x13=−10.9956078380017x_{13} = -10.9956078380017
x14=4.7300407448627x_{14} = 4.7300407448627
x15=0x_{15} = 0
x16=20.4203522456261x_{16} = 20.4203522456261
x17=−23.5619449020405x_{17} = -23.5619449020405
x18=−29.8451302091033x_{18} = -29.8451302091033
x19=−14.1371654912575x_{19} = -14.1371654912575
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)*cosh(x) - 1.
−1+cos⁡(0)cosh⁡(0)-1 + \cos{\left(0 \right)} \cosh{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)cosh⁡(x)+cos⁡(x)sinh⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−10.210176122813x_{1} = -10.210176122813
x2=0x_{2} = 0
x3=22.776546738526x_{3} = 22.776546738526
x4=−25.9181393921158x_{4} = -25.9181393921158
x5=19.6349540849362x_{5} = 19.6349540849362
x6=−22.776546738526x_{6} = -22.776546738526
x7=−29.0597320457056x_{7} = -29.0597320457056
x8=29.0597320457056x_{8} = 29.0597320457056
x9=25.9181393921158x_{9} = 25.9181393921158
x10=13.3517687777541x_{10} = 13.3517687777541
x11=−16.4933614313464x_{11} = -16.4933614313464
x12=10.210176122813x_{12} = 10.210176122813
x13=−3.92660231204792x_{13} = -3.92660231204792
x14=−13.3517687777541x_{14} = -13.3517687777541
x15=−7.06858274562873x_{15} = -7.06858274562873
x16=−19.6349540849362x_{16} = -19.6349540849362
x17=16.4933614313464x_{17} = 16.4933614313464
x18=7.06858274562873x_{18} = 7.06858274562873
x19=3.92660231204792x_{19} = 3.92660231204792
Signos de extremos en los puntos:
(-10.21017612281303, -9609.99919672069)

(0, 0)

(22.776546738526, -2755393134.85846)

(-25.918139392115794, 63761705592.089)

(19.634954084936208, 119071332.671119)

(-22.776546738526, -2755393134.85846)

(-29.059732045705587, -1475490030872.44)

(29.059732045705587, -1475490030872.44)

(25.918139392115794, 63761705592.089)

(13.351768777754094, 222357.89661947)

(-16.49336143134641, -5145539.8808221)

(10.21017612281303, -9609.99919672069)

(-3.926602312047919, -18.9512244081415)

(-13.351768777754094, 222357.89661947)

(-7.068582745628732, 414.242806350718)

(-19.634954084936208, 119071332.671119)

(16.49336143134641, -5145539.8808221)

(7.068582745628732, 414.242806350718)

(3.926602312047919, -18.9512244081415)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−10.210176122813x_{1} = -10.210176122813
x2=22.776546738526x_{2} = 22.776546738526
x3=−22.776546738526x_{3} = -22.776546738526
x4=−29.0597320457056x_{4} = -29.0597320457056
x5=29.0597320457056x_{5} = 29.0597320457056
x6=−16.4933614313464x_{6} = -16.4933614313464
x7=10.210176122813x_{7} = 10.210176122813
x8=−3.92660231204792x_{8} = -3.92660231204792
x9=16.4933614313464x_{9} = 16.4933614313464
x10=3.92660231204792x_{10} = 3.92660231204792
Puntos máximos de la función:
x10=−25.9181393921158x_{10} = -25.9181393921158
x10=19.6349540849362x_{10} = 19.6349540849362
x10=25.9181393921158x_{10} = 25.9181393921158
x10=13.3517687777541x_{10} = 13.3517687777541
x10=−13.3517687777541x_{10} = -13.3517687777541
x10=−7.06858274562873x_{10} = -7.06858274562873
x10=−19.6349540849362x_{10} = -19.6349540849362
x10=7.06858274562873x_{10} = 7.06858274562873
Decrece en los intervalos
[29.0597320457056,∞)\left[29.0597320457056, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−29.0597320457056]\left(-\infty, -29.0597320457056\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡(x)sinh⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,π]\left(-\infty, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(cos⁡(x)cosh⁡(x)−1)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} - 1\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(cos⁡(x)cosh⁡(x)−1)y = \lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} - 1\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)*cosh(x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)cosh⁡(x)−1x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞(cos⁡(x)cosh⁡(x)−1x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)cosh⁡(x)−1=cos⁡(x)cosh⁡(x)−1\cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} - 1 = \cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} - 1
- Sí
cos⁡(x)cosh⁡(x)−1=−cos⁡(x)cosh⁡(x)+1\cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} - 1 = - \cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} + 1
- No
es decir, función
es
par
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