Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3-3*x^2+5
-
x^3/(4(2-x)^2)
-
x^3+9x-1
-
(x^3+3x^2-2x-2)/(2-3x^2)
-
Expresiones idénticas
- cos(cuatro *x+x)/(x^ dos - uno)
- coseno de (4 multiplicar por x más x) dividir por (x al cuadrado menos 1)
- coseno de (cuatro multiplicar por x más x) dividir por (x en el grado dos menos uno)
- cos(4*x+x)/(x2-1)
- cos4*x+x/x2-1
- cos(4*x+x)/(x²-1)
- cos(4*x+x)/(x en el grado 2-1)
- cos(4x+x)/(x^2-1)
- cos(4x+x)/(x2-1)
- cos4x+x/x2-1
- cos4x+x/x^2-1
- cos(4*x+x) dividir por (x^2-1)
-
Expresiones semejantes
- cos(4*x-x)/(x^2-1)
- cos(4*x+x)/(x^2+1)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)*sign(sin(x))
- cos(x^3+x-1)
- cos(1/x)+ln(x+1)+(π-x)^(1/3)
- cos(-5*x)^(2)
- cos(x/2)+e^(2-x)
Gráfico de la función y = cos(4*x+x)/(x^2-1)
Solución
Ha introducido
[src]
cos(4*x + x)
f(x) = ------------
2
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1}$$
f = cos(x + 4*x)/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{10}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -29.845130209103$$
$$x_{2} = -70.0575161750524$$
$$x_{3} = 54.3495529071034$$
$$x_{4} = 24.1902634326414$$
$$x_{5} = 65.0309679293087$$
$$x_{6} = 27.9601746169492$$
$$x_{7} = -92.0486647501809$$
$$x_{8} = -97.7035315266426$$
$$x_{9} = -41.7831822927443$$
$$x_{10} = -85.7654794430014$$
$$x_{11} = 38.0132711084365$$
$$x_{12} = 300.022098417825$$
$$x_{13} = -4.08407044966673$$
$$x_{14} = -75.712382951514$$
$$x_{15} = -61.8893752757189$$
$$x_{16} = -27.9601746169492$$
$$x_{17} = 32.3584043319749$$
$$x_{18} = 2.19911485751286$$
$$x_{19} = -71.9424717672063$$
$$x_{20} = -14.1371669411541$$
$$x_{21} = -31.7300858012569$$
$$x_{22} = 92.0486647501809$$
$$x_{23} = 48.0663675999238$$
$$x_{24} = 81.9955682586936$$
$$x_{25} = -53.7212343763855$$
$$x_{26} = -63.7743308678728$$
$$x_{27} = 66.2876049907446$$
$$x_{28} = 61.8893752757189$$
$$x_{29} = 71.9424717672063$$
$$x_{30} = -9.73893722612836$$
$$x_{31} = -5.96902604182061$$
$$x_{32} = 93.9336203423348$$
$$x_{33} = 34.2433599241287$$
$$x_{34} = -80.1106126665397$$
$$x_{35} = -39.8982267005904$$
$$x_{36} = 76.340701482232$$
$$x_{37} = -65.6592864600267$$
$$x_{38} = -81.9955682586936$$
$$x_{39} = 98.3318500573605$$
$$x_{40} = 17.9070781254618$$
$$x_{41} = -26.0752190247953$$
$$x_{42} = 22.3053078404875$$
$$x_{43} = -11.6238928182822$$
$$x_{44} = -663.818527703523$$
$$x_{45} = 0.314159265358979$$
$$x_{46} = 44.2964564156161$$
$$x_{47} = 192.579629665054$$
$$x_{48} = 49.9513231920777$$
$$x_{49} = 78.2256570743859$$
$$x_{50} = 47.4380490692059$$
$$x_{51} = -73.8274273593601$$
$$x_{52} = 100.216805649514$$
$$x_{53} = -48.0663675999238$$
$$x_{54} = -83.8805238508475$$
$$x_{55} = -36.1283155162826$$
$$x_{56} = 60.0044196835651$$
$$x_{57} = 10.3672557568463$$
$$x_{58} = 12.2522113490002$$
$$x_{59} = 88.2787535658732$$
$$x_{60} = 36.1283155162826$$
$$x_{61} = -87.6504350351552$$
$$x_{62} = -68.8008791136165$$
$$x_{63} = 21.6769893097696$$
$$x_{64} = 70.0575161750524$$
$$x_{65} = 16.0221225333079$$
$$x_{66} = -2.82743338823081$$
$$x_{67} = -93.9336203423348$$
$$x_{68} = 4.08407044966673$$
$$x_{69} = 14.1371669411541$$
$$x_{70} = -38.0132711084365$$
$$x_{71} = -17.9070781254618$$
$$x_{72} = 39.8982267005904$$
$$x_{73} = 90.1637091580271$$
$$x_{74} = -76.340701482232$$
$$x_{75} = 5.96902604182061$$
$$x_{76} = 46.18141200777$$
$$x_{77} = -49.9513231920777$$
$$x_{78} = -51.8362787842316$$
$$x_{79} = -43.6681378848981$$
$$x_{80} = -95.8185759344887$$
$$x_{81} = 80.1106126665397$$
$$x_{82} = 68.1725605828985$$
$$x_{83} = -7.85398163397448$$
$$x_{84} = -60.0044196835651$$
$$x_{85} = -21.6769893097696$$
$$x_{86} = -33.6150413934108$$
$$x_{87} = 83.8805238508475$$
$$x_{88} = -16.0221225333079$$
$$x_{89} = -58.1194640914112$$
$$x_{90} = 58.1194640914112$$
$$x_{91} = 7.22566310325652$$
$$x_{92} = -19.7920337176157$$
$$x_{93} = 133.517687777566$$
$$x_{94} = 56.2345084992573$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{10}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -29.845130209103$$
$$x_{2} = -70.0575161750524$$
$$x_{3} = 54.3495529071034$$
$$x_{4} = 24.1902634326414$$
$$x_{5} = 65.0309679293087$$
$$x_{6} = 27.9601746169492$$
$$x_{7} = -92.0486647501809$$
$$x_{8} = -97.7035315266426$$
$$x_{9} = -41.7831822927443$$
$$x_{10} = -85.7654794430014$$
$$x_{11} = 38.0132711084365$$
$$x_{12} = 300.022098417825$$
$$x_{13} = -4.08407044966673$$
$$x_{14} = -75.712382951514$$
$$x_{15} = -61.8893752757189$$
$$x_{16} = -27.9601746169492$$
$$x_{17} = 32.3584043319749$$
$$x_{18} = 2.19911485751286$$
$$x_{19} = -71.9424717672063$$
$$x_{20} = -14.1371669411541$$
$$x_{21} = -31.7300858012569$$
$$x_{22} = 92.0486647501809$$
$$x_{23} = 48.0663675999238$$
$$x_{24} = 81.9955682586936$$
$$x_{25} = -53.7212343763855$$
$$x_{26} = -63.7743308678728$$
$$x_{27} = 66.2876049907446$$
$$x_{28} = 61.8893752757189$$
$$x_{29} = 71.9424717672063$$
$$x_{30} = -9.73893722612836$$
$$x_{31} = -5.96902604182061$$
$$x_{32} = 93.9336203423348$$
$$x_{33} = 34.2433599241287$$
$$x_{34} = -80.1106126665397$$
$$x_{35} = -39.8982267005904$$
$$x_{36} = 76.340701482232$$
$$x_{37} = -65.6592864600267$$
$$x_{38} = -81.9955682586936$$
$$x_{39} = 98.3318500573605$$
$$x_{40} = 17.9070781254618$$
$$x_{41} = -26.0752190247953$$
$$x_{42} = 22.3053078404875$$
$$x_{43} = -11.6238928182822$$
$$x_{44} = -663.818527703523$$
$$x_{45} = 0.314159265358979$$
$$x_{46} = 44.2964564156161$$
$$x_{47} = 192.579629665054$$
$$x_{48} = 49.9513231920777$$
$$x_{49} = 78.2256570743859$$
$$x_{50} = 47.4380490692059$$
$$x_{51} = -73.8274273593601$$
$$x_{52} = 100.216805649514$$
$$x_{53} = -48.0663675999238$$
$$x_{54} = -83.8805238508475$$
$$x_{55} = -36.1283155162826$$
$$x_{56} = 60.0044196835651$$
$$x_{57} = 10.3672557568463$$
$$x_{58} = 12.2522113490002$$
$$x_{59} = 88.2787535658732$$
$$x_{60} = 36.1283155162826$$
$$x_{61} = -87.6504350351552$$
$$x_{62} = -68.8008791136165$$
$$x_{63} = 21.6769893097696$$
$$x_{64} = 70.0575161750524$$
$$x_{65} = 16.0221225333079$$
$$x_{66} = -2.82743338823081$$
$$x_{67} = -93.9336203423348$$
$$x_{68} = 4.08407044966673$$
$$x_{69} = 14.1371669411541$$
$$x_{70} = -38.0132711084365$$
$$x_{71} = -17.9070781254618$$
$$x_{72} = 39.8982267005904$$
$$x_{73} = 90.1637091580271$$
$$x_{74} = -76.340701482232$$
$$x_{75} = 5.96902604182061$$
$$x_{76} = 46.18141200777$$
$$x_{77} = -49.9513231920777$$
$$x_{78} = -51.8362787842316$$
$$x_{79} = -43.6681378848981$$
$$x_{80} = -95.8185759344887$$
$$x_{81} = 80.1106126665397$$
$$x_{82} = 68.1725605828985$$
$$x_{83} = -7.85398163397448$$
$$x_{84} = -60.0044196835651$$
$$x_{85} = -21.6769893097696$$
$$x_{86} = -33.6150413934108$$
$$x_{87} = 83.8805238508475$$
$$x_{88} = -16.0221225333079$$
$$x_{89} = -58.1194640914112$$
$$x_{90} = 58.1194640914112$$
$$x_{91} = 7.22566310325652$$
$$x_{92} = -19.7920337176157$$
$$x_{93} = 133.517687777566$$
$$x_{94} = 56.2345084992573$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \cos{\left(x + 4 x \right)}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 \sin{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 43.9804772707051$$
$$x_{2} = -43.9804772707051$$
$$x_{3} = -39.5820450949106$$
$$x_{4} = -69.7422096048752$$
$$x_{5} = -47.7505322647089$$
$$x_{6} = -89.8486594021155$$
$$x_{7} = 60.9455844986464$$
$$x_{8} = -27.6431177325273$$
$$x_{9} = 96.1319029246777$$
$$x_{10} = -10.0450569900272$$
$$x_{11} = 10.0450569900272$$
$$x_{12} = 77.9104708292441$$
$$x_{13} = -77.9104708292441$$
$$x_{14} = -59.688919779734$$
$$x_{15} = -5.64024876457399$$
$$x_{16} = -56.5472525996449$$
$$x_{17} = -76.0254897658437$$
$$x_{18} = -54.0339126098678$$
$$x_{19} = 45.8655077270332$$
$$x_{20} = 65.9722328301909$$
$$x_{21} = 55.91891815781$$
$$x_{22} = -93.6186064536815$$
$$x_{23} = -25.7579494846518$$
$$x_{24} = -52.7772402600661$$
$$x_{25} = -86.0787092076392$$
$$x_{26} = 70.3705383836538$$
$$x_{27} = -23.8727474905771$$
$$x_{28} = -79.795450688682$$
$$x_{29} = 72.2555236499826$$
$$x_{30} = -3.74702407259747$$
$$x_{31} = -49.6355515592029$$
$$x_{32} = -74.140507406587$$
$$x_{33} = -21.3590767768119$$
$$x_{34} = 28.271500822307$$
$$x_{35} = 52.1489034467125$$
$$x_{36} = -98.016874525578$$
$$x_{37} = -20.1022039761978$$
$$x_{38} = -32.0417460195949$$
$$x_{39} = 84.1937327998049$$
$$x_{40} = 54.0339126098678$$
$$x_{41} = 64.0872415470646$$
$$x_{42} = 3.74702407259747$$
$$x_{43} = 26.3863422909371$$
$$x_{44} = 0$$
$$x_{45} = 32.0417460195949$$
$$x_{46} = 8.15819343440073$$
$$x_{47} = 42.0954400989517$$
$$x_{48} = -81.680429427562$$
$$x_{49} = 38.3253416359477$$
$$x_{50} = 16.3313658042246$$
$$x_{51} = 23.8727474905771$$
$$x_{52} = 62.2022480991767$$
$$x_{53} = -65.9722328301909$$
$$x_{54} = 74.140507406587$$
$$x_{55} = 11.931302161923$$
$$x_{56} = 98.6451982565458$$
$$x_{57} = -45.8655077270332$$
$$x_{58} = -57.8039204446587$$
$$x_{59} = 76.0254897658437$$
$$x_{60} = 86.0787092076392$$
$$x_{61} = 40.2103952651705$$
$$x_{62} = 89.2203345987252$$
$$x_{63} = 18.2168332867871$$
$$x_{64} = -42.0954400989517$$
$$x_{65} = -37.6969882430057$$
$$x_{66} = 21.9875030069394$$
$$x_{67} = 82.3087554381567$$
$$x_{68} = 6.27011200881177$$
$$x_{69} = -13.8171889415972$$
$$x_{70} = -8.78724240122631$$
$$x_{71} = 50.2638902610058$$
$$x_{72} = 30.1566338943204$$
$$x_{73} = 94.2469306832098$$
$$x_{74} = -99.9018455221845$$
$$x_{75} = -55.91891815781$$
$$x_{76} = 246.928858587175$$
$$x_{77} = -87.9636847230099$$
$$x_{78} = -11.931302161923$$
$$x_{79} = -67.8572221291202$$
$$x_{80} = 87.9636847230099$$
$$x_{81} = -21.9875030069394$$
$$x_{82} = -1.82420087382986$$
$$x_{83} = -33.9268407028905$$
$$x_{84} = -35.8119207078091$$
$$x_{85} = 20.1022039761978$$
$$x_{86} = 98.016874525578$$
$$x_{87} = -91.7336332965327$$
$$x_{88} = 60.3172522833615$$
$$x_{89} = -31.413377404844$$
$$x_{90} = -71.6271954015107$$
$$x_{91} = 92.3619577619375$$
$$x_{92} = 4.37901497732045$$
$$x_{93} = -96.1319029246777$$
$$x_{94} = -64.0872415470646$$
$$x_{95} = 48.3788725817987$$
$$x_{96} = -15.7028490207672$$
$$x_{97} = 33.9268407028905$$
$$x_{98} = 99.9018455221845$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -39.5820450949106$$
$$x_{2} = -69.7422096048752$$
$$x_{3} = -89.8486594021155$$
$$x_{4} = 60.9455844986464$$
$$x_{5} = 96.1319029246777$$
$$x_{6} = -59.688919779734$$
$$x_{7} = -5.64024876457399$$
$$x_{8} = -76.0254897658437$$
$$x_{9} = 45.8655077270332$$
$$x_{10} = 65.9722328301909$$
$$x_{11} = 55.91891815781$$
$$x_{12} = -93.6186064536815$$
$$x_{13} = -25.7579494846518$$
$$x_{14} = -86.0787092076392$$
$$x_{15} = -79.795450688682$$
$$x_{16} = 72.2555236499826$$
$$x_{17} = -49.6355515592029$$
$$x_{18} = 28.271500822307$$
$$x_{19} = 52.1489034467125$$
$$x_{20} = -32.0417460195949$$
$$x_{21} = 0$$
$$x_{22} = 32.0417460195949$$
$$x_{23} = 8.15819343440073$$
$$x_{24} = 42.0954400989517$$
$$x_{25} = 38.3253416359477$$
$$x_{26} = 62.2022480991767$$
$$x_{27} = -65.9722328301909$$
$$x_{28} = 11.931302161923$$
$$x_{29} = 98.6451982565458$$
$$x_{30} = -45.8655077270332$$
$$x_{31} = 76.0254897658437$$
$$x_{32} = 86.0787092076392$$
$$x_{33} = 18.2168332867871$$
$$x_{34} = -42.0954400989517$$
$$x_{35} = 21.9875030069394$$
$$x_{36} = 82.3087554381567$$
$$x_{37} = -99.9018455221845$$
$$x_{38} = -55.91891815781$$
$$x_{39} = 246.928858587175$$
$$x_{40} = -11.931302161923$$
$$x_{41} = -21.9875030069394$$
$$x_{42} = -1.82420087382986$$
$$x_{43} = -35.8119207078091$$
$$x_{44} = 92.3619577619375$$
$$x_{45} = 4.37901497732045$$
$$x_{46} = -96.1319029246777$$
$$x_{47} = 48.3788725817987$$
$$x_{48} = -15.7028490207672$$
$$x_{49} = 99.9018455221845$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{49} = 43.9804772707051$$
$$x_{49} = -43.9804772707051$$
$$x_{49} = -47.7505322647089$$
$$x_{49} = -27.6431177325273$$
$$x_{49} = -10.0450569900272$$
$$x_{49} = 10.0450569900272$$
$$x_{49} = 77.9104708292441$$
$$x_{49} = -77.9104708292441$$
$$x_{49} = -56.5472525996449$$
$$x_{49} = -54.0339126098678$$
$$x_{49} = -52.7772402600661$$
$$x_{49} = 70.3705383836538$$
$$x_{49} = -23.8727474905771$$
$$x_{49} = -3.74702407259747$$
$$x_{49} = -74.140507406587$$
$$x_{49} = -21.3590767768119$$
$$x_{49} = -98.016874525578$$
$$x_{49} = -20.1022039761978$$
$$x_{49} = 84.1937327998049$$
$$x_{49} = 54.0339126098678$$
$$x_{49} = 64.0872415470646$$
$$x_{49} = 3.74702407259747$$
$$x_{49} = 26.3863422909371$$
$$x_{49} = -81.680429427562$$
$$x_{49} = 16.3313658042246$$
$$x_{49} = 23.8727474905771$$
$$x_{49} = 74.140507406587$$
$$x_{49} = -57.8039204446587$$
$$x_{49} = 40.2103952651705$$
$$x_{49} = 89.2203345987252$$
$$x_{49} = -37.6969882430057$$
$$x_{49} = 6.27011200881177$$
$$x_{49} = -13.8171889415972$$
$$x_{49} = -8.78724240122631$$
$$x_{49} = 50.2638902610058$$
$$x_{49} = 30.1566338943204$$
$$x_{49} = 94.2469306832098$$
$$x_{49} = -87.9636847230099$$
$$x_{49} = -67.8572221291202$$
$$x_{49} = 87.9636847230099$$
$$x_{49} = -33.9268407028905$$
$$x_{49} = 20.1022039761978$$
$$x_{49} = 98.016874525578$$
$$x_{49} = -91.7336332965327$$
$$x_{49} = 60.3172522833615$$
$$x_{49} = -31.413377404844$$
$$x_{49} = -71.6271954015107$$
$$x_{49} = -64.0872415470646$$
$$x_{49} = 33.9268407028905$$
Decrece en los intervalos
$$\left[246.928858587175, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -99.9018455221845\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \cos{\left(x + 4 x \right)}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{5 \sin{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 43.9804772707051$$
$$x_{2} = -43.9804772707051$$
$$x_{3} = -39.5820450949106$$
$$x_{4} = -69.7422096048752$$
$$x_{5} = -47.7505322647089$$
$$x_{6} = -89.8486594021155$$
$$x_{7} = 60.9455844986464$$
$$x_{8} = -27.6431177325273$$
$$x_{9} = 96.1319029246777$$
$$x_{10} = -10.0450569900272$$
$$x_{11} = 10.0450569900272$$
$$x_{12} = 77.9104708292441$$
$$x_{13} = -77.9104708292441$$
$$x_{14} = -59.688919779734$$
$$x_{15} = -5.64024876457399$$
$$x_{16} = -56.5472525996449$$
$$x_{17} = -76.0254897658437$$
$$x_{18} = -54.0339126098678$$
$$x_{19} = 45.8655077270332$$
$$x_{20} = 65.9722328301909$$
$$x_{21} = 55.91891815781$$
$$x_{22} = -93.6186064536815$$
$$x_{23} = -25.7579494846518$$
$$x_{24} = -52.7772402600661$$
$$x_{25} = -86.0787092076392$$
$$x_{26} = 70.3705383836538$$
$$x_{27} = -23.8727474905771$$
$$x_{28} = -79.795450688682$$
$$x_{29} = 72.2555236499826$$
$$x_{30} = -3.74702407259747$$
$$x_{31} = -49.6355515592029$$
$$x_{32} = -74.140507406587$$
$$x_{33} = -21.3590767768119$$
$$x_{34} = 28.271500822307$$
$$x_{35} = 52.1489034467125$$
$$x_{36} = -98.016874525578$$
$$x_{37} = -20.1022039761978$$
$$x_{38} = -32.0417460195949$$
$$x_{39} = 84.1937327998049$$
$$x_{40} = 54.0339126098678$$
$$x_{41} = 64.0872415470646$$
$$x_{42} = 3.74702407259747$$
$$x_{43} = 26.3863422909371$$
$$x_{44} = 0$$
$$x_{45} = 32.0417460195949$$
$$x_{46} = 8.15819343440073$$
$$x_{47} = 42.0954400989517$$
$$x_{48} = -81.680429427562$$
$$x_{49} = 38.3253416359477$$
$$x_{50} = 16.3313658042246$$
$$x_{51} = 23.8727474905771$$
$$x_{52} = 62.2022480991767$$
$$x_{53} = -65.9722328301909$$
$$x_{54} = 74.140507406587$$
$$x_{55} = 11.931302161923$$
$$x_{56} = 98.6451982565458$$
$$x_{57} = -45.8655077270332$$
$$x_{58} = -57.8039204446587$$
$$x_{59} = 76.0254897658437$$
$$x_{60} = 86.0787092076392$$
$$x_{61} = 40.2103952651705$$
$$x_{62} = 89.2203345987252$$
$$x_{63} = 18.2168332867871$$
$$x_{64} = -42.0954400989517$$
$$x_{65} = -37.6969882430057$$
$$x_{66} = 21.9875030069394$$
$$x_{67} = 82.3087554381567$$
$$x_{68} = 6.27011200881177$$
$$x_{69} = -13.8171889415972$$
$$x_{70} = -8.78724240122631$$
$$x_{71} = 50.2638902610058$$
$$x_{72} = 30.1566338943204$$
$$x_{73} = 94.2469306832098$$
$$x_{74} = -99.9018455221845$$
$$x_{75} = -55.91891815781$$
$$x_{76} = 246.928858587175$$
$$x_{77} = -87.9636847230099$$
$$x_{78} = -11.931302161923$$
$$x_{79} = -67.8572221291202$$
$$x_{80} = 87.9636847230099$$
$$x_{81} = -21.9875030069394$$
$$x_{82} = -1.82420087382986$$
$$x_{83} = -33.9268407028905$$
$$x_{84} = -35.8119207078091$$
$$x_{85} = 20.1022039761978$$
$$x_{86} = 98.016874525578$$
$$x_{87} = -91.7336332965327$$
$$x_{88} = 60.3172522833615$$
$$x_{89} = -31.413377404844$$
$$x_{90} = -71.6271954015107$$
$$x_{91} = 92.3619577619375$$
$$x_{92} = 4.37901497732045$$
$$x_{93} = -96.1319029246777$$
$$x_{94} = -64.0872415470646$$
$$x_{95} = 48.3788725817987$$
$$x_{96} = -15.7028490207672$$
$$x_{97} = 33.9268407028905$$
$$x_{98} = 99.9018455221845$$
Signos de extremos en los puntos:
(43.9804772707051, 0.000517233597437444)
(-43.9804772707051, 0.000517233597437444)
(-39.58204509491064, -0.00063864368718547)
(-69.74220960487521, -0.00020563202187301)
(-47.750532264708944, 0.000438751715954693)
(-89.84865940211554, -0.000123887158728359)
(60.94558449864636, -0.000269291773823358)
(-27.643117732527344, 0.00131023466726553)
(96.13190292467768, -0.000108220156705173)
(-10.0450569900272, 0.0100016064521053)
(10.0450569900272, 0.0100016064521053)
(77.91047082924406, 0.000164768493052767)
(-77.91047082924406, 0.000164768493052767)
(-59.688919779734, -0.000280753202870758)
(-5.640248764573985, -0.0323678101092314)
(-56.54725259964493, 0.000312825357865791)
(-76.02548976584366, -0.000173041662620807)
(-54.03391260986782, 0.000342613154727243)
(45.86550772703323, -0.000475573400322225)
(65.97223283019088, -0.000229810275503831)
(55.91891815780999, -0.000319897076825524)
(-93.61860645368154, -0.000114109353609796)
(-25.75794948465181, -0.00150931531853117)
(-52.77724026006608, 0.000359128695556195)
(-86.07870920763919, -0.000134977827793602)
(70.37053838365381, 0.000201975616905833)
(-23.872747490577076, 0.00175750566782006)
(-79.79545068868202, -0.000157074790825559)
(72.25552364998259, -0.000191573057061236)
(-3.7470240725974677, 0.0761844297909742)
(-49.635551559202874, -0.000406047177822934)
(-74.14050740658705, 0.000181953990540541)
(-21.359076776811886, 0.00219640070375977)
(28.27150082230704, -0.0012525711293605)
(52.148903446712495, -0.00036783798851984)
(-98.01687452557796, 0.000104097401776241)
(-20.102203976197767, 0.00248028917179634)
(-32.04174601959489, -0.000974893031047041)
(84.19373279980488, 0.000141090196683047)
(54.03391260986782, 0.000342613154727243)
(64.08724154706462, 0.000243530932716317)
(3.7470240725974677, 0.0761844297909742)
(26.386342290937076, 0.00143818845103276)
(0, -1)
(32.04174601959489, -0.000974893031047041)
(8.158193434400726, -0.0152352419958773)
(42.0954400989517, -0.000564618905910019)
(-81.68042942756199, 0.000149907674194891)
(38.3253416359477, -0.000681239810536001)
(16.33136580422461, 0.00376231502619645)
(23.872747490577076, 0.00175750566782006)
(62.20224809917666, -0.000258518194649307)
(-65.97223283019088, -0.000229810275503831)
(74.14050740658705, 0.000181953990540541)
(11.931302161923014, -0.00707030999095896)
(98.64519825654583, -0.000102775396689447)
(-45.86550772703323, -0.000475573400322225)
(-57.80392044465874, 0.000299367743549506)
(76.02548976584366, -0.000173041662620807)
(86.07870920763919, -0.000134977827793602)
(40.21039526517046, 0.000618828755412424)
(89.22033459872519, 0.000125638429866559)
(18.216833286787086, -0.0030217574355397)
(-42.0954400989517, -0.000564618905910019)
(-37.69698824300569, 0.000704154452351808)
(21.987503006939445, -0.00207240808303087)
(82.30875543815671, -0.000147627379267843)
(6.270112008811766, 0.0260441728434178)
(-13.817188941597209, 0.00526329323148144)
(-8.787242401226308, 0.0131067378246422)
(50.26389026100576, 0.000395955129155678)
(30.156633894320375, 0.00110071225151677)
(94.24693068320978, 0.000112592782692442)
(-99.90184552218453, -0.000100205835347264)
(-55.91891815780999, -0.000319897076825524)
(246.92885858717477, -1.64007177650704e-5)
(-87.9636847230099, 0.00012925424447455)
(-11.931302161923014, -0.00707030999095896)
(-67.85722212912023, 0.000217217407091631)
(87.9636847230099, 0.00012925424447455)
(-21.987503006939445, -0.00207240808303087)
(-1.824200873829856, -0.409937233429038)
(-33.92684070289054, 0.000869481605881122)
(-35.81192070780913, -0.000780290654154347)
(20.102203976197767, 0.00248028917179634)
(98.01687452557796, 0.000104097401776241)
(-91.7336332965327, 0.000118847566237247)
(60.31725228336151, 0.000274932913719903)
(-31.413377404843953, 0.00101432186168238)
(-71.62719540151069, 0.000194949439564309)
(92.36195776193752, -0.000117235888417475)
(4.379014977320452, -0.0547645768509519)
(-96.13190292467768, -0.000108220156705173)
(-64.08724154706462, 0.000243530932716317)
(48.37887258179868, -0.000427424341602152)
(-15.702849020767196, -0.00407067042074794)
(33.92684070289054, 0.000869481605881122)
(99.90184552218453, -0.000100205835347264)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -39.5820450949106$$
$$x_{2} = -69.7422096048752$$
$$x_{3} = -89.8486594021155$$
$$x_{4} = 60.9455844986464$$
$$x_{5} = 96.1319029246777$$
$$x_{6} = -59.688919779734$$
$$x_{7} = -5.64024876457399$$
$$x_{8} = -76.0254897658437$$
$$x_{9} = 45.8655077270332$$
$$x_{10} = 65.9722328301909$$
$$x_{11} = 55.91891815781$$
$$x_{12} = -93.6186064536815$$
$$x_{13} = -25.7579494846518$$
$$x_{14} = -86.0787092076392$$
$$x_{15} = -79.795450688682$$
$$x_{16} = 72.2555236499826$$
$$x_{17} = -49.6355515592029$$
$$x_{18} = 28.271500822307$$
$$x_{19} = 52.1489034467125$$
$$x_{20} = -32.0417460195949$$
$$x_{21} = 0$$
$$x_{22} = 32.0417460195949$$
$$x_{23} = 8.15819343440073$$
$$x_{24} = 42.0954400989517$$
$$x_{25} = 38.3253416359477$$
$$x_{26} = 62.2022480991767$$
$$x_{27} = -65.9722328301909$$
$$x_{28} = 11.931302161923$$
$$x_{29} = 98.6451982565458$$
$$x_{30} = -45.8655077270332$$
$$x_{31} = 76.0254897658437$$
$$x_{32} = 86.0787092076392$$
$$x_{33} = 18.2168332867871$$
$$x_{34} = -42.0954400989517$$
$$x_{35} = 21.9875030069394$$
$$x_{36} = 82.3087554381567$$
$$x_{37} = -99.9018455221845$$
$$x_{38} = -55.91891815781$$
$$x_{39} = 246.928858587175$$
$$x_{40} = -11.931302161923$$
$$x_{41} = -21.9875030069394$$
$$x_{42} = -1.82420087382986$$
$$x_{43} = -35.8119207078091$$
$$x_{44} = 92.3619577619375$$
$$x_{45} = 4.37901497732045$$
$$x_{46} = -96.1319029246777$$
$$x_{47} = 48.3788725817987$$
$$x_{48} = -15.7028490207672$$
$$x_{49} = 99.9018455221845$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{49} = 43.9804772707051$$
$$x_{49} = -43.9804772707051$$
$$x_{49} = -47.7505322647089$$
$$x_{49} = -27.6431177325273$$
$$x_{49} = -10.0450569900272$$
$$x_{49} = 10.0450569900272$$
$$x_{49} = 77.9104708292441$$
$$x_{49} = -77.9104708292441$$
$$x_{49} = -56.5472525996449$$
$$x_{49} = -54.0339126098678$$
$$x_{49} = -52.7772402600661$$
$$x_{49} = 70.3705383836538$$
$$x_{49} = -23.8727474905771$$
$$x_{49} = -3.74702407259747$$
$$x_{49} = -74.140507406587$$
$$x_{49} = -21.3590767768119$$
$$x_{49} = -98.016874525578$$
$$x_{49} = -20.1022039761978$$
$$x_{49} = 84.1937327998049$$
$$x_{49} = 54.0339126098678$$
$$x_{49} = 64.0872415470646$$
$$x_{49} = 3.74702407259747$$
$$x_{49} = 26.3863422909371$$
$$x_{49} = -81.680429427562$$
$$x_{49} = 16.3313658042246$$
$$x_{49} = 23.8727474905771$$
$$x_{49} = 74.140507406587$$
$$x_{49} = -57.8039204446587$$
$$x_{49} = 40.2103952651705$$
$$x_{49} = 89.2203345987252$$
$$x_{49} = -37.6969882430057$$
$$x_{49} = 6.27011200881177$$
$$x_{49} = -13.8171889415972$$
$$x_{49} = -8.78724240122631$$
$$x_{49} = 50.2638902610058$$
$$x_{49} = 30.1566338943204$$
$$x_{49} = 94.2469306832098$$
$$x_{49} = -87.9636847230099$$
$$x_{49} = -67.8572221291202$$
$$x_{49} = 87.9636847230099$$
$$x_{49} = -33.9268407028905$$
$$x_{49} = 20.1022039761978$$
$$x_{49} = 98.016874525578$$
$$x_{49} = -91.7336332965327$$
$$x_{49} = 60.3172522833615$$
$$x_{49} = -31.413377404844$$
$$x_{49} = -71.6271954015107$$
$$x_{49} = -64.0872415470646$$
$$x_{49} = 33.9268407028905$$
Decrece en los intervalos
$$\left[246.928858587175, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -99.9018455221845\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{20 x \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1} - 25 \cos{\left(5 x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -65.656848966939$$
$$x_{2} = 34.2386827506632$$
$$x_{3} = 76.3386051877975$$
$$x_{4} = 38.0090585917967$$
$$x_{5} = 22.2981174970489$$
$$x_{6} = -80.1086150586489$$
$$x_{7} = 68.1702129980947$$
$$x_{8} = -27.9544434884427$$
$$x_{9} = 85.1352812841815$$
$$x_{10} = 36.1238828258751$$
$$x_{11} = -123.463295267073$$
$$x_{12} = -7.8332076714592$$
$$x_{13} = -49.9481185493933$$
$$x_{14} = -51.8331907789564$$
$$x_{15} = 5.94128698602387$$
$$x_{16} = -16.0120898954146$$
$$x_{17} = 4.04181360740579$$
$$x_{18} = -43.6644716042339$$
$$x_{19} = 66.2851906144012$$
$$x_{20} = -26.0690721965348$$
$$x_{21} = -53.7182548129591$$
$$x_{22} = -93.9319167827205$$
$$x_{23} = -47.434674469425$$
$$x_{24} = -61.8867892164924$$
$$x_{25} = 26.0690721965348$$
$$x_{26} = 19.1553389817901$$
$$x_{27} = 78.2236113129099$$
$$x_{28} = -54.9749600328382$$
$$x_{29} = -50.5764769265287$$
$$x_{30} = 32.3534541001447$$
$$x_{31} = 100.215208922234$$
$$x_{32} = -14.1257815273595$$
$$x_{33} = -4.04181360740579$$
$$x_{34} = 81.9936165892293$$
$$x_{35} = -48.0630371582114$$
$$x_{36} = 24.183635752283$$
$$x_{37} = 51.204834324493$$
$$x_{38} = -29.8397620458006$$
$$x_{39} = -63.771821289198$$
$$x_{40} = 71.9402472579385$$
$$x_{41} = 83.8786160540921$$
$$x_{42} = -60.0017523341146$$
$$x_{43} = 46.1779454812218$$
$$x_{44} = -39.8942135049353$$
$$x_{45} = 98.3302227144456$$
$$x_{46} = 75.7102692532699$$
$$x_{47} = -38.0090585917967$$
$$x_{48} = -31.7250373157656$$
$$x_{49} = -97.7018937159058$$
$$x_{50} = 87.6486093200995$$
$$x_{51} = 88.2769408492032$$
$$x_{52} = 90.1619343490571$$
$$x_{53} = -71.9402472579385$$
$$x_{54} = 10.3516496356449$$
$$x_{55} = 92.046926295711$$
$$x_{56} = 65.0285068724037$$
$$x_{57} = 2.09906780363513$$
$$x_{58} = -58.1167101734686$$
$$x_{59} = 60.0017523341146$$
$$x_{60} = -75.7102692532699$$
$$x_{61} = -68.7985529787465$$
$$x_{62} = -19.7839250695181$$
$$x_{63} = 48.0630371582114$$
$$x_{64} = 12.2390481644834$$
$$x_{65} = 27.9544434884427$$
$$x_{66} = -5.94128698602387$$
$$x_{67} = 0.400026104038616$$
$$x_{68} = -41.7793503957282$$
$$x_{69} = -85.7636135895293$$
$$x_{70} = 80.1086150586489$$
$$x_{71} = 39.8942135049353$$
$$x_{72} = -87.6486093200995$$
$$x_{73} = -9.72229932855872$$
$$x_{74} = -73.8252596711376$$
$$x_{75} = -2.09906780363513$$
$$x_{76} = 61.8867892164924$$
$$x_{77} = -83.8786160540921$$
$$x_{78} = 49.9481185493933$$
$$x_{79} = 93.9319167827205$$
$$x_{80} = -17.8981098836246$$
$$x_{81} = -21.6695895084827$$
$$x_{82} = -95.8169058962743$$
$$x_{83} = 16.0120898954146$$
$$x_{84} = 17.8981098836246$$
$$x_{85} = 14.1257815273595$$
$$x_{86} = -92.6752566158296$$
$$x_{87} = 70.0552317849432$$
$$x_{88} = -92.046926295711$$
$$x_{89} = 57.4883615237795$$
$$x_{90} = 56.2316622030192$$
$$x_{91} = 54.3466078173532$$
$$x_{92} = 58.1167101734686$$
$$x_{93} = -36.1238828258751$$
$$x_{94} = 44.2928422023494$$
$$x_{95} = -70.0552317849432$$
$$x_{96} = -81.9936165892293$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\frac{20 x \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1} - 25 \cos{\left(5 x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{20 x \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1} - 25 \cos{\left(5 x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{20 x \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1} - 25 \cos{\left(5 x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{20 x \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1} - 25 \cos{\left(5 x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[98.3302227144456, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -97.7018937159058\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{20 x \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1} - 25 \cos{\left(5 x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -65.656848966939$$
$$x_{2} = 34.2386827506632$$
$$x_{3} = 76.3386051877975$$
$$x_{4} = 38.0090585917967$$
$$x_{5} = 22.2981174970489$$
$$x_{6} = -80.1086150586489$$
$$x_{7} = 68.1702129980947$$
$$x_{8} = -27.9544434884427$$
$$x_{9} = 85.1352812841815$$
$$x_{10} = 36.1238828258751$$
$$x_{11} = -123.463295267073$$
$$x_{12} = -7.8332076714592$$
$$x_{13} = -49.9481185493933$$
$$x_{14} = -51.8331907789564$$
$$x_{15} = 5.94128698602387$$
$$x_{16} = -16.0120898954146$$
$$x_{17} = 4.04181360740579$$
$$x_{18} = -43.6644716042339$$
$$x_{19} = 66.2851906144012$$
$$x_{20} = -26.0690721965348$$
$$x_{21} = -53.7182548129591$$
$$x_{22} = -93.9319167827205$$
$$x_{23} = -47.434674469425$$
$$x_{24} = -61.8867892164924$$
$$x_{25} = 26.0690721965348$$
$$x_{26} = 19.1553389817901$$
$$x_{27} = 78.2236113129099$$
$$x_{28} = -54.9749600328382$$
$$x_{29} = -50.5764769265287$$
$$x_{30} = 32.3534541001447$$
$$x_{31} = 100.215208922234$$
$$x_{32} = -14.1257815273595$$
$$x_{33} = -4.04181360740579$$
$$x_{34} = 81.9936165892293$$
$$x_{35} = -48.0630371582114$$
$$x_{36} = 24.183635752283$$
$$x_{37} = 51.204834324493$$
$$x_{38} = -29.8397620458006$$
$$x_{39} = -63.771821289198$$
$$x_{40} = 71.9402472579385$$
$$x_{41} = 83.8786160540921$$
$$x_{42} = -60.0017523341146$$
$$x_{43} = 46.1779454812218$$
$$x_{44} = -39.8942135049353$$
$$x_{45} = 98.3302227144456$$
$$x_{46} = 75.7102692532699$$
$$x_{47} = -38.0090585917967$$
$$x_{48} = -31.7250373157656$$
$$x_{49} = -97.7018937159058$$
$$x_{50} = 87.6486093200995$$
$$x_{51} = 88.2769408492032$$
$$x_{52} = 90.1619343490571$$
$$x_{53} = -71.9402472579385$$
$$x_{54} = 10.3516496356449$$
$$x_{55} = 92.046926295711$$
$$x_{56} = 65.0285068724037$$
$$x_{57} = 2.09906780363513$$
$$x_{58} = -58.1167101734686$$
$$x_{59} = 60.0017523341146$$
$$x_{60} = -75.7102692532699$$
$$x_{61} = -68.7985529787465$$
$$x_{62} = -19.7839250695181$$
$$x_{63} = 48.0630371582114$$
$$x_{64} = 12.2390481644834$$
$$x_{65} = 27.9544434884427$$
$$x_{66} = -5.94128698602387$$
$$x_{67} = 0.400026104038616$$
$$x_{68} = -41.7793503957282$$
$$x_{69} = -85.7636135895293$$
$$x_{70} = 80.1086150586489$$
$$x_{71} = 39.8942135049353$$
$$x_{72} = -87.6486093200995$$
$$x_{73} = -9.72229932855872$$
$$x_{74} = -73.8252596711376$$
$$x_{75} = -2.09906780363513$$
$$x_{76} = 61.8867892164924$$
$$x_{77} = -83.8786160540921$$
$$x_{78} = 49.9481185493933$$
$$x_{79} = 93.9319167827205$$
$$x_{80} = -17.8981098836246$$
$$x_{81} = -21.6695895084827$$
$$x_{82} = -95.8169058962743$$
$$x_{83} = 16.0120898954146$$
$$x_{84} = 17.8981098836246$$
$$x_{85} = 14.1257815273595$$
$$x_{86} = -92.6752566158296$$
$$x_{87} = 70.0552317849432$$
$$x_{88} = -92.046926295711$$
$$x_{89} = 57.4883615237795$$
$$x_{90} = 56.2316622030192$$
$$x_{91} = 54.3466078173532$$
$$x_{92} = 58.1167101734686$$
$$x_{93} = -36.1238828258751$$
$$x_{94} = 44.2928422023494$$
$$x_{95} = -70.0552317849432$$
$$x_{96} = -81.9936165892293$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\frac{20 x \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1} - 25 \cos{\left(5 x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{20 x \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1} - 25 \cos{\left(5 x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{20 x \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1} - 25 \cos{\left(5 x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{20 x \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1} - 25 \cos{\left(5 x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[98.3302227144456, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -97.7018937159058\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(4*x + x)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1} = \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1} = - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1} = \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{\cos{\left(x + 4 x \right)}}{x^{2} - 1} = - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar