Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)+log(sin(x))

Gráfico de la función y = sin(x)+log(sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x) + log(sin(x))
f(x)=log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)} 
f = log(sin(x)) + sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)=0\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=asin⁡(W(1))x_{1} = \operatorname{asin}{\left(W\left(1\right) \right)}
Solución numérica
x1=69.7180715914873x_{1} = 69.7180715914873
x2=−72.8596642450771x_{2} = -72.8596642450771
x3=46.520856591335x_{3} = 46.520856591335
x4=13.169403826871x_{4} = 13.169403826871
x5=44.585330362769x_{5} = 44.585330362769
x6=63.4348862843077x_{6} = 63.4348862843077
x7=57.1517009771281x_{7} = 57.1517009771281
x8=−35.1605524019996x_{8} = -35.1605524019996
x9=40.2376712841555x_{9} = 40.2376712841555
x10=−24.5297080162065x_{10} = -24.5297080162065
x11=−43.3792639377453x_{11} = -43.3792639377453
x12=−30.8128933233861x_{12} = -30.8128933233861
x13=6.88621851969144x_{13} = 6.88621851969144
x14=−85.4260348594363x_{14} = -85.4260348594363
x15=−47.7269230163588x_{15} = -47.7269230163588
x16=−99.9279317023615x_{16} = -99.9279317023615
x17=−18.2465227090269x_{17} = -18.2465227090269
x18=52.8040418985146x_{18} = 52.8040418985146
x19=82.2844422058465x_{19} = 82.2844422058465
x20=77.936783127233x_{20} = 77.936783127233
x21=−66.5764789378975x_{21} = -66.5764789378975
x22=−97.9924054737954x_{22} = -97.9924054737954
x23=84.2199684344126x_{23} = 84.2199684344126
x24=38.3021450555894x_{24} = 38.3021450555894
x25=94.8508128202056x_{25} = 94.8508128202056
x26=−91.7092201666159x_{26} = -91.7092201666159
x27=71.6535978200534x_{27} = 71.6535978200534
x28=−81.0783757808228x_{28} = -81.0783757808228
x29=76.0012568986669x_{29} = 76.0012568986669
x30=−22.5941817876404x_{30} = -22.5941817876404
x31=−68.5120051664636x_{31} = -68.5120051664636
x32=25.7357744412302x_{32} = 25.7357744412302
x33=88.5676275130261x_{33} = 88.5676275130261
x34=−3.74462586610165x_{34} = -3.74462586610165
x35=−54.0101083235383x_{35} = -54.0101083235383
x36=−62.228819859284x_{36} = -62.228819859284
x37=−10.0278111732812x_{37} = -10.0278111732812
x38=33.9544859769759x_{38} = 33.9544859769759
x39=2.53855944107794x_{39} = 2.53855944107794
x40=−87.3615610880024x_{40} = -87.3615610880024
x41=−55.9456345521044x_{41} = -55.9456345521044
x42=96.7863390487717x_{42} = 96.7863390487717
x43=−5.68015209466773x_{43} = -5.68015209466773
x44=90.5031537415921x_{44} = 90.5031537415921
x45=19.4525891340506x_{45} = 19.4525891340506
x46=−16.3109964804608x_{46} = -16.3109964804608
x47=8.82174474825753x_{47} = 8.82174474825753
x48=32.0189597484098x_{48} = 32.0189597484098
x49=−60.2932936307179x_{49} = -60.2932936307179
x50=−37.0960786305657x_{50} = -37.0960786305657
x51=−79.1428495522567x_{51} = -79.1428495522567
x52=65.3704125128738x_{52} = 65.3704125128738
x53=−11.9633374018473x_{53} = -11.9633374018473
x54=21.3881153626167x_{54} = 21.3881153626167
x55=−49.6624492449248x_{55} = -49.6624492449248
x56=−93.6447463951819x_{56} = -93.6447463951819
x57=27.6713006697963x_{57} = 27.6713006697963
x58=−41.4437377091792x_{58} = -41.4437377091792
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + log(sin(x)).
log⁡(sin⁡(0))+sin⁡(0)\log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)} + \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=0\cos{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi             
(----, -1 + pi*I)
  2              

 pi    
(--, 1)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+1+cos⁡2(x)sin⁡2(x))=0- (\sin{\left(x \right)} + 1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x))=⟨−1,1⟩+log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩+log⁡(⟨−1,1⟩)y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x))=⟨−1,1⟩+log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩+log⁡(⟨−1,1⟩)y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + log(sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)=log⁡(−sin⁡(x))−sin⁡(x)\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)} = \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)} - \sin{\left(x \right)}
- No
log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)=−log⁡(−sin⁡(x))+sin⁡(x)\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)} = - \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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