Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(log(sin(x))+log(sin(x))+log(sin(x)))

Gráfico de la función y = exp(log(sin(x))+log(sin(x))+log(sin(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        log(sin(x)) + log(sin(x)) + log(sin(x))
f(x) = e
f(x)=e(log⁡(sin⁡(x))+log⁡(sin⁡(x)))+log⁡(sin⁡(x))f{\left(x \right)} = e^{\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} 
f = exp(log(sin(x)) + log(sin(x)) + log(sin(x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e(log⁡(sin⁡(x))+log⁡(sin⁡(x)))+log⁡(sin⁡(x))=0e^{\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−28.2742627706429x_{1} = -28.2742627706429
x2=87.9646063100383x_{2} = 87.9646063100383
x3=−50.2654130938124x_{3} = -50.2654130938124
x4=43.9823032527788x_{4} = 43.9823032527788
x5=65.9734548127967x_{5} = 65.9734548127967
x6=−69.1149515823542x_{6} = -69.1149515823542
x7=94.247780189482x_{7} = 94.247780189482
x8=97.3893978428526x_{8} = 97.3893978428526
x9=72.2566292957527x_{9} = 72.2566292957527
x10=−53.4071504072306x_{10} = -53.4071504072306
x11=−78.5397992432789x_{11} = -78.5397992432789
x12=−81.6814265052127x_{12} = -81.6814265052127
x13=−40.8407553983808x_{13} = -40.8407553983808
x14=84.823034075932x_{14} = 84.823034075932
x15=21.9911516417751x_{15} = 21.9911516417751
x16=59.6903382940834x_{16} = 59.6903382940834
x17=−94.2477138117764x_{17} = -94.2477138117764
x18=75.3981609859687x_{18} = 75.3981609859687
x19=−43.9823032312938x_{19} = -43.9823032312938
x20=56.5486006603067x_{20} = 56.5486006603067
x21=−65.9734547037153x_{21} = -65.9734547037153
x22=−91.1060951872411x_{22} = -91.1060951872411
x23=−56.5486655300491x_{23} = -56.5486655300491
x24=37.699188061337x_{24} = 37.699188061337
x25=9.42474281067687x_{25} = 9.42474281067687
x26=−75.3983005713641x_{26} = -75.3983005713641
x27=−9.42480464038606x_{27} = -9.42480464038606
x28=15.7080378065275x_{28} = 15.7080378065275
x29=−97.3894507188702x_{29} = -97.3894507188702
x30=−47.1238085269535x_{30} = -47.1238085269535
x31=−12.566394491012x_{31} = -12.566394491012
x32=6.2831766827342x_{32} = 6.2831766827342
x33=81.6814885050503x_{33} = 81.6814885050503
x34=28.2743275366207x_{34} = 28.2743275366207
x35=−15.7079508374868x_{35} = -15.7079508374868
x36=−119.380533126399x_{36} = -119.380533126399
x37=78.5397509228736x_{37} = 78.5397509228736
x38=40.8407567654285x_{38} = 40.8407567654285
x39=100.53090120176x_{39} = 100.53090120176
x40=−9.42485002941145x_{40} = -9.42485002941145
x41=−6.28311247067328x_{41} = -6.28311247067328
x42=53.407020637795x_{42} = 53.407020637795
x43=−25.1326660873779x_{43} = -25.1326660873779
x44=−3.14152433726919x_{44} = -3.14152433726919
x45=−34.5575306179909x_{45} = -34.5575306179909
x46=100.531002707477x_{46} = 100.531002707477
x47=97.389302170591x_{47} = 97.389302170591
x48=−37.6991249589774x_{48} = -37.6991249589774
x49=−87.9646059647861x_{49} = -87.9646059647861
x50=−72.256563440672x_{50} = -72.256563440672
x51=−15.7079741496884x_{51} = -15.7079741496884
x52=34.5574504140577x_{52} = 34.5574504140577
x53=62.8318959401771x_{53} = 62.8318959401771
x54=−31.4160002265554x_{54} = -31.4160002265554
x55=0x_{55} = 0
x56=50.2654784091363x_{56} = 50.2654784091363
x57=31.4158812157011x_{57} = 31.4158812157011
x58=−21.9911516404356x_{58} = -21.9911516404356
x59=12.5663001841415x_{59} = 12.5663001841415
x60=−59.6902757442614x_{60} = -59.6902757442614
x61=18.8496166426336x_{61} = 18.8496166426336
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(log(sin(x)) + log(sin(x)) + log(sin(x))).
e(log⁡(sin⁡(0))+log⁡(sin⁡(0)))+log⁡(sin⁡(0))e^{\left(\log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)} + \log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}\right) + \log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(−sin⁡2(x)+2cos⁡2(x))sin⁡(x)=03 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2atan⁡(2−3)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}
x3=2atan⁡(2−3)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}
x4=−2atan⁡(3+2)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x5=2atan⁡(3+2)x_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(3+2),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(3+2)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e(log⁡(sin⁡(x))+log⁡(sin⁡(x)))+log⁡(sin⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} e^{\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞e(log⁡(sin⁡(x))+log⁡(sin⁡(x)))+log⁡(sin⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} e^{\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(log(sin(x)) + log(sin(x)) + log(sin(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡3(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡3(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e(log⁡(sin⁡(x))+log⁡(sin⁡(x)))+log⁡(sin⁡(x))=−sin⁡3(x)e^{\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = - \sin^{3}{\left(x \right)}
- No
e(log⁡(sin⁡(x))+log⁡(sin⁡(x)))+log⁡(sin⁡(x))=sin⁡3(x)e^{\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = \sin^{3}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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