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Trazado el gráfico de la función/ log(3)*((x-4)/(x^2+4))

Gráfico de la función y = log(3)*((x-4)/(x^2+4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              x - 4 
f(x) = log(3)*------
               2    
              x  + 4
f(x)=x−4x2+4log⁡(3)f{\left(x \right)} = \frac{x - 4}{x^{2} + 4} \log{\left(3 \right)} 
f = ((x - 4)/(x^2 + 4))*log(3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−4x2+4log⁡(3)=0\frac{x - 4}{x^{2} + 4} \log{\left(3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=4x_{1} = 4
Solución numérica
x1=4x_{1} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(3)*((x - 4)/(x^2 + 4)).
−402+4log⁡(3)- \frac{4}{0^{2} + 4} \log{\left(3 \right)}
Resultado:
f(0)=−log⁡(3)f{\left(0 \right)} = - \log{\left(3 \right)}
Punto:
(0, -log(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2x(x−4)(x2+4)2+1x2+4)log⁡(3)=0\left(- \frac{2 x \left(x - 4\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4}\right) \log{\left(3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4−25x_{1} = 4 - 2 \sqrt{5}
x2=4+25x_{2} = 4 + 2 \sqrt{5}
Signos de extremos en los puntos:
                    ___          
         ___   -2*\/ 5 *log(3)   
(4 - 2*\/ 5, ------------------)
                               2 
                  /        ___\  
              4 + \4 - 2*\/ 5 /  

                    ___          
         ___    2*\/ 5 *log(3)   
(4 + 2*\/ 5, ------------------)
                               2 
                  /        ___\  
              4 + \4 + 2*\/ 5 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4−25x_{1} = 4 - 2 \sqrt{5}
Puntos máximos de la función:
x1=4+25x_{1} = 4 + 2 \sqrt{5}
Decrece en los intervalos
[4−25,4+25]\left[4 - 2 \sqrt{5}, 4 + 2 \sqrt{5}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,4−25]∪[4+25,∞)\left(-\infty, 4 - 2 \sqrt{5}\right] \cup \left[4 + 2 \sqrt{5}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(2x−(x−4)(4x2x2+4−1))log⁡(3)(x2+4)2=0- \frac{2 \left(2 x - \left(x - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right)\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4+1010+5i3+210+5i3x_{1} = 4 + \frac{10}{\sqrt[3]{10 + 5 i}} + 2 \sqrt[3]{10 + 5 i}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4+45cos⁡(atan⁡(12)3),∞)\left[4 + 4 \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4+45cos⁡(atan⁡(12)3)]\left(-\infty, 4 + 4 \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−4x2+4log⁡(3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 4}{x^{2} + 4} \log{\left(3 \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x−4x2+4log⁡(3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 4}{x^{2} + 4} \log{\left(3 \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(3)*((x - 4)/(x^2 + 4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−4)log⁡(3)x(x2+4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \log{\left(3 \right)}}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x−4)log⁡(3)x(x2+4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \log{\left(3 \right)}}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−4x2+4log⁡(3)=(−x−4)log⁡(3)x2+4\frac{x - 4}{x^{2} + 4} \log{\left(3 \right)} = \frac{\left(- x - 4\right) \log{\left(3 \right)}}{x^{2} + 4}
- No
x−4x2+4log⁡(3)=−(−x−4)log⁡(3)x2+4\frac{x - 4}{x^{2} + 4} \log{\left(3 \right)} = - \frac{\left(- x - 4\right) \log{\left(3 \right)}}{x^{2} + 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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