Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x+2)/e^x

Gráfico de la función y = (x+2)/e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x + 2
f(x) = -----
          x 
         E
f(x)=x+2exf{\left(x \right)} = \frac{x + 2}{e^{x}} 
f = (x + 2)/E^x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200000200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+2ex=0\frac{x + 2}{e^{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=109.394173451874x_{1} = 109.394173451874
x2=91.4416565533312x_{2} = 91.4416565533312
x3=95.429350983852x_{3} = 95.429350983852
x4=39.9272307499711x_{4} = 39.9272307499711
x5=105.40315817241x_{5} = 105.40315817241
x6=65.5660769899711x_{6} = 65.5660769899711
x7=79.4872456640903x_{7} = 79.4872456640903
x8=77.496455118891x_{8} = 77.496455118891
x9=43.8319875396224x_{9} = 43.8319875396224
x10=71.5277731870455x_{10} = 71.5277731870455
x11=117.378231552779x_{11} = 117.378231552779
x12=97.4236264980399x_{12} = 97.4236264980399
x13=49.7281686335153x_{13} = 49.7281686335153
x14=51.7006804984823x_{14} = 51.7006804984823
x15=34.1413894508705x_{15} = 34.1413894508705
x16=−2x_{16} = -2
x17=93.4353540260187x_{17} = 93.4353540260187
x18=75.5062407712727x_{18} = 75.5062407712727
x19=53.67586733869x_{19} = 53.67586733869
x20=61.5967547129854x_{20} = 61.5967547129854
x21=41.8762545098096x_{21} = 41.8762545098096
x22=121.371127053866x_{22} = 121.371127053866
x23=107.398572537176x_{23} = 107.398572537176
x24=37.9866376954424x_{24} = 37.9866376954424
x25=83.4703620749206x_{25} = 83.4703620749206
x26=113.385891060967x_{26} = 113.385891060967
x27=89.4482816547886x_{27} = 89.4482816547886
x28=101.412938828373x_{28} = 101.412938828373
x29=81.4785626915261x_{29} = 81.4785626915261
x30=119.374613775997x_{30} = 119.374613775997
x31=67.5523925194344x_{31} = 67.5523925194344
x32=57.6328238138969x_{32} = 57.6328238138969
x33=36.0568716419232x_{33} = 36.0568716419232
x34=69.5396566043977x_{34} = 69.5396566043977
x35=59.614029218278x_{35} = 59.614029218278
x36=85.4626045093137x_{36} = 85.4626045093137
x37=99.4181615522622x_{37} = 99.4181615522622
x38=103.407942520376x_{38} = 103.407942520376
x39=73.5166588459953x_{39} = 73.5166588459953
x40=47.758798960419x_{40} = 47.758798960419
x41=63.580821222158x_{41} = 63.580821222158
x42=111.389949729147x_{42} = 111.389949729147
x43=45.7931569932505x_{43} = 45.7931569932505
x44=55.6533514231885x_{44} = 55.6533514231885
x45=32.2454094695441x_{45} = 32.2454094695441
x46=87.4552548670559x_{46} = 87.4552548670559
x47=115.381987933686x_{47} = 115.381987933686
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 2)/E^x.
2e0\frac{2}{e^{0}}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(x+2)e−x+1ex=0- \left(x + 2\right) e^{- x} + \frac{1}{e^{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, E)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Decrece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Crece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xe−x=0x e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+2ex)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{e^{x}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x+2ex)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{e^{x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 2)/E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)e−xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{- x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+2)e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+2ex=(2−x)ex\frac{x + 2}{e^{x}} = \left(2 - x\right) e^{x}
- No
x+2ex=−(2−x)ex\frac{x + 2}{e^{x}} = - \left(2 - x\right) e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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