Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (2+x)×exp^(-x^2)

Gráfico de la función y = (2+x)×exp^(-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  2
                -x 
f(x) = (2 + x)*E
f(x)=e−x2(x+2)f{\left(x \right)} = e^{- x^{2}} \left(x + 2\right) 
f = E^(-x^2)*(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−x2(x+2)=0e^{- x^{2}} \left(x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=64.4080342886434x_{1} = 64.4080342886434
x2=−28.348812502701x_{2} = -28.348812502701
x3=18.7998300827241x_{3} = 18.7998300827241
x4=11.2040964185261x_{4} = 11.2040964185261
x5=6.25070624672878x_{5} = 6.25070624672878
x6=82.3734998938169x_{6} = 82.3734998938169
x7=60.4185018824785x_{7} = 60.4185018824785
x8=−26.3753364399697x_{8} = -26.3753364399697
x9=−10.9477323040219x_{9} = -10.9477323040219
x10=88.3651130071135x_{10} = 88.3651130071135
x11=14.9486202935747x_{11} = 14.9486202935747
x12=−24.4061971110348x_{12} = -24.4061971110348
x13=54.4370858159335x_{13} = 54.4370858159335
x14=−74.1325728492273x_{14} = -74.1325728492273
x15=−78.1257837207718x_{15} = -78.1257837207718
x16=−22.4425447497635x_{16} = -22.4425447497635
x17=−32.3055802966519x_{17} = -32.3055802966519
x18=−64.1532484553795x_{18} = -64.1532484553795
x19=34.5456754989187x_{19} = 34.5456754989187
x20=24.6660812069075x_{20} = 24.6660812069075
x21=−80.1226432395648x_{21} = -80.1226432395648
x22=−96.1022228752756x_{22} = -96.1022228752756
x23=−70.140136023651x_{23} = -70.140136023651
x24=16.8654886139824x_{24} = 16.8654886139824
x25=26.6347912338313x_{25} = 26.6347912338313
x26=−2x_{26} = -2
x27=−12.7973014393597x_{27} = -12.7973014393597
x28=100.254985254636x_{28} = 100.254985254636
x29=96.3555546864829x_{29} = 96.3555546864829
x30=78.3798042530414x_{30} = 78.3798042530414
x31=−16.6042527352188x_{31} = -16.6042527352188
x32=−34.287735324383x_{32} = -34.287735324383
x33=−76.1290891456639x_{33} = -76.1290891456639
x34=7.73067049460233x_{34} = 7.73067049460233
x35=−20.485973263246x_{35} = -20.485973263246
x36=−92.1066630744739x_{36} = -92.1066630744739
x37=−56.1750871923994x_{37} = -56.1750871923994
x38=98.255089251583x_{38} = 98.255089251583
x39=92.3601268392134x_{39} = 92.3601268392134
x40=−72.1362496428062x_{40} = -72.1362496428062
x41=−14.6876367897109x_{41} = -14.6876367897109
x42=−50.1960322702485x_{42} = -50.1960322702485
x43=90.3625647798571x_{43} = 90.3625647798571
x44=20.7467049560703x_{44} = 20.7467049560703
x45=−60.1634423644794x_{45} = -60.1634423644794
x46=−6.09401040201525x_{46} = -6.09401040201525
x47=62.4131004974627x_{47} = 62.4131004974627
x48=52.4442246525905x_{48} = 52.4442246525905
x49=94.3577921916534x_{49} = 94.3577921916534
x50=−18.5387564196558x_{50} = -18.5387564196558
x51=−88.1115063551664x_{51} = -88.1115063551664
x52=−7.50631351449795x_{52} = -7.50631351449795
x53=−58.1690647409639x_{53} = -58.1690647409639
x54=9.41336576735806x_{54} = 9.41336576735806
x55=36.5294729380701x_{55} = 36.5294729380701
x56=30.5844256602222x_{56} = 30.5844256602222
x57=13.0570848704171x_{57} = 13.0570848704171
x58=68.3987900079955x_{58} = 68.3987900079955
x59=−42.2332121273221x_{59} = -42.2332121273221
x60=−82.1196556630482x_{60} = -82.1196556630482
x61=66.4032730266911x_{61} = 66.4032730266911
x62=−68.1442504217579x_{62} = -68.1442504217579
x63=44.4791951099832x_{63} = 44.4791951099832
x64=−40.2448145446648x_{64} = -40.2448145446648
x65=−100.00500105906x_{65} = -100.00500105906
x66=−6.30581890362399x_{66} = -6.30581890362399
x67=22.7028627757487x_{67} = 22.7028627757487
x68=42.4899930873067x_{68} = 42.4899930873067
x69=74.3867863430495x_{69} = 74.3867863430495
x70=−30.3257746220277x_{70} = -30.3257746220277
x71=86.3677792115239x_{71} = 86.3677792115239
x72=56.430452459848x_{72} = 56.430452459848
x73=46.4693250621839x_{73} = 46.4693250621839
x74=−98.0051017732545x_{74} = -98.0051017732545
x75=70.3945615556597x_{75} = 70.3945615556597
x76=84.370571775636x_{76} = 84.370571775636
x77=38.5149488499326x_{77} = 38.5149488499326
x78=58.4242727996985x_{78} = 58.4242727996985
x79=−62.1581815196472x_{79} = -62.1581815196472
x80=−52.1885159393566x_{80} = -52.1885159393566
x81=80.3765736737256x_{81} = 80.3765736737256
x82=76.3832039350816x_{82} = 76.3832039350816
x83=48.4602684752256x_{83} = 48.4602684752256
x84=−66.1486134911377x_{84} = -66.1486134911377
x85=−48.2041717557132x_{85} = -48.2041717557132
x86=32.5638640338554x_{86} = 32.5638640338554
x87=−46.2130150879097x_{87} = -46.2130150879097
x88=−84.1168100977345x_{88} = -84.1168100977345
x89=−94.1043959695424x_{89} = -94.1043959695424
x90=−9.16585432686934x_{90} = -9.16585432686934
x91=−54.1815539349107x_{91} = -54.1815539349107
x92=−36.2718534436908x_{92} = -36.2718534436908
x93=50.4519289327398x_{93} = 50.4519289327398
x94=40.5018559354183x_{94} = 40.5018559354183
x95=72.3905666028472x_{95} = 72.3905666028472
x96=−86.1140966539324x_{96} = -86.1140966539324
x97=−44.222657488877x_{97} = -44.222657488877
x98=−90.1090310025442x_{98} = -90.1090310025442
x99=−38.2576284551879x_{99} = -38.2576284551879
x100=28.6078545135589x_{100} = 28.6078545135589
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2 + x)*E^(-x^2).
2e−022 e^{- 0^{2}}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x+2)e−x2+e−x2=0- 2 x \left(x + 2\right) e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+62x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}
x2=−62−1x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - 1
Signos de extremos en los puntos:
                                       2 
                           /       ___\  
                           |     \/ 6 |  
        ___  /      ___\  -|-1 + -----|  
      \/ 6   |    \/ 6 |   \       2  /  
(-1 + -----, |1 + -----|*e              )
        2    \      2  /                 

                                       2 
                           /       ___\  
                           |     \/ 6 |  
        ___  /      ___\  -|-1 - -----|  
      \/ 6   |    \/ 6 |   \       2  /  
(-1 - -----, |1 - -----|*e              )
        2    \      2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−62−1x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - 1
Puntos máximos de la función:
x1=−1+62x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}
Decrece en los intervalos
[−62−1,−1+62]\left[- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1, -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−62−1]∪[−1+62,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2x+(x+2)(2x2−1))e−x2=02 \left(- 2 x + \left(x + 2\right) \left(2 x^{2} - 1\right)\right) e^{- x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23−8+3978i433−1768+3978i43x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{8 + \frac{3 \sqrt{978} i}{4}}}{3} - \frac{17}{6 \sqrt[3]{8 + \frac{3 \sqrt{978} i}{4}}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−34cos⁡(atan⁡(397832)3)3−23,∞)\left[- \frac{\sqrt{34} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{978}}{32} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−34cos⁡(atan⁡(397832)3)3−23]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{34} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{978}}{32} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−x2(x+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x^{2}} \left(x + 2\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(e−x2(x+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x^{2}} \left(x + 2\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2 + x)*E^(-x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)e−x2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{- x^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x+2)e−x2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{- x^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−x2(x+2)=(2−x)e−x2e^{- x^{2}} \left(x + 2\right) = \left(2 - x\right) e^{- x^{2}}
- No
e−x2(x+2)=−(2−x)e−x2e^{- x^{2}} \left(x + 2\right) = - \left(2 - x\right) e^{- x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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