Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(x)/27-x^2*exp(x)/3-x*exp(x)/9+exp(-2*x)+exp(3*x)

Gráfico de la función y = exp(x)/27-x^2*exp(x)/3-x*exp(x)/9+exp(-2*x)+exp(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x    2  x      x               
       e    x *e    x*e     -2*x    3*x
f(x) = -- - ----- - ---- + e     + e   
       27     3      9
f(x)=((−xex9+(−x2ex3+ex27))+e−2x)+e3xf{\left(x \right)} = \left(\left(- \frac{x e^{x}}{9} + \left(- \frac{x^{2} e^{x}}{3} + \frac{e^{x}}{27}\right)\right) + e^{- 2 x}\right) + e^{3 x} 
f = -x*exp(x)/9 - x^2*exp(x)/3 + exp(x)/27 + exp(-2*x) + exp(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((−xex9+(−x2ex3+ex27))+e−2x)+e3x=0\left(\left(- \frac{x e^{x}}{9} + \left(- \frac{x^{2} e^{x}}{3} + \frac{e^{x}}{27}\right)\right) + e^{- 2 x}\right) + e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x)/27 - x^2*exp(x)/3 - x*exp(x)/9 + exp(-2*x) + exp(3*x).
e0⋅3+((−0e09+(−02e03+e027))+e−0)e^{0 \cdot 3} + \left(\left(- \frac{0 e^{0}}{9} + \left(- \frac{0^{2} e^{0}}{3} + \frac{e^{0}}{27}\right)\right) + e^{- 0}\right)
Resultado:
f(0)=5527f{\left(0 \right)} = \frac{55}{27}
Punto:
(0, 55/27)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2ex3−7xex9+3e3x−2ex27−2e−2x=0- \frac{x^{2} e^{x}}{3} - \frac{7 x e^{x}}{9} + 3 e^{3 x} - \frac{2 e^{x}}{27} - 2 e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.0799956624974014x_{1} = -0.0799956624974014
Signos de extremos en los puntos:
(-0.07999566249740135, 2.00056439002689)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.0799956624974014x_{1} = -0.0799956624974014
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−0.0799956624974014,∞)\left[-0.0799956624974014, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−0.0799956624974014]\left(-\infty, -0.0799956624974014\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x2ex3−13xex9+9e3x−23ex27+4e−2x=0- \frac{x^{2} e^{x}}{3} - \frac{13 x e^{x}}{9} + 9 e^{3 x} - \frac{23 e^{x}}{27} + 4 e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((−xex9+(−x2ex3+ex27))+e−2x)+e3x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(- \frac{x e^{x}}{9} + \left(- \frac{x^{2} e^{x}}{3} + \frac{e^{x}}{27}\right)\right) + e^{- 2 x}\right) + e^{3 x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((−xex9+(−x2ex3+ex27))+e−2x)+e3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(- \frac{x e^{x}}{9} + \left(- \frac{x^{2} e^{x}}{3} + \frac{e^{x}}{27}\right)\right) + e^{- 2 x}\right) + e^{3 x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x)/27 - x^2*exp(x)/3 - x*exp(x)/9 + exp(-2*x) + exp(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((−xex9+(−x2ex3+ex27))+e−2x)+e3xx)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(- \frac{x e^{x}}{9} + \left(- \frac{x^{2} e^{x}}{3} + \frac{e^{x}}{27}\right)\right) + e^{- 2 x}\right) + e^{3 x}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((−xex9+(−x2ex3+ex27))+e−2x)+e3xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(- \frac{x e^{x}}{9} + \left(- \frac{x^{2} e^{x}}{3} + \frac{e^{x}}{27}\right)\right) + e^{- 2 x}\right) + e^{3 x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((−xex9+(−x2ex3+ex27))+e−2x)+e3x=−x2e−x3+xe−x9+e2x+e−x27+e−3x\left(\left(- \frac{x e^{x}}{9} + \left(- \frac{x^{2} e^{x}}{3} + \frac{e^{x}}{27}\right)\right) + e^{- 2 x}\right) + e^{3 x} = - \frac{x^{2} e^{- x}}{3} + \frac{x e^{- x}}{9} + e^{2 x} + \frac{e^{- x}}{27} + e^{- 3 x}
- No
((−xex9+(−x2ex3+ex27))+e−2x)+e3x=x2e−x3−xe−x9−e2x−e−x27−e−3x\left(\left(- \frac{x e^{x}}{9} + \left(- \frac{x^{2} e^{x}}{3} + \frac{e^{x}}{27}\right)\right) + e^{- 2 x}\right) + e^{3 x} = \frac{x^{2} e^{- x}}{3} - \frac{x e^{- x}}{9} - e^{2 x} - \frac{e^{- x}}{27} - e^{- 3 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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