Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(1 - \frac{\left(1 - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} + \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{\left(W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1\right)^{2}}\right) W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}\right) e^{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2 + 2 \sqrt{2}} e^{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{\left(1 - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} + \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{\left(W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1\right)^{2}}\right) W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}\right) e^{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{\left(1 - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} + \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{\left(W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1\right)^{2}}\right) W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}\right) e^{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}}{x^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2 + 2 \sqrt{2}} e^{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{2 + 2 \sqrt{2}} e^{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}, \infty\right)$$