Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(1+lambertw(x^2*exp(-1)/8))/x

Gráfico de la función y = exp(1+lambertw(x^2*exp(-1)/8))/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             / 2  -1\
             |x *e  |
        1 + W|------|
             \  8   /
       e             
f(x) = --------------
             x
f(x)=eW(x2e−18)+1xf{\left(x \right)} = \frac{e^{W\left(\frac{x^{2} e^{-1}}{8}\right) + 1}}{x} 
f = exp(LambertW((x^2*exp(-1))/8) + 1)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
eW(x2e−18)+1x=0\frac{e^{W\left(\frac{x^{2} e^{-1}}{8}\right) + 1}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(1 + LambertW((x^2*exp(-1))/8))/x.
eW(02e−18)+10\frac{e^{W\left(\frac{0^{2} e^{-1}}{8}\right) + 1}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−eW(x2e−18)+1x2+2eW(x2e−18)+1W(x2e−18)x2(W(x2e−18)+1)=0- \frac{e^{W\left(\frac{x^{2} e^{-1}}{8}\right) + 1}}{x^{2}} + \frac{2 e^{W\left(\frac{x^{2} e^{-1}}{8}\right) + 1} W\left(\frac{x^{2} e^{-1}}{8}\right)}{x^{2} \left(W\left(\frac{x^{2} e^{-1}}{8}\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−22ex_{1} = - 2 \sqrt{2} e
x2=22ex_{2} = 2 \sqrt{2} e
Signos de extremos en los puntos:
                  ___  
        ___  -E*\/ 2   
(-2*E*\/ 2, ---------)
                 4     

                ___ 
       ___  E*\/ 2  
(2*E*\/ 2, -------)
               4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=22ex_{1} = 2 \sqrt{2} e
Puntos máximos de la función:
x1=−22ex_{1} = - 2 \sqrt{2} e
Decrece en los intervalos
(−∞,−22e]∪[22e,∞)\left(-\infty, - 2 \sqrt{2} e\right] \cup \left[2 \sqrt{2} e, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−22e,22e]\left[- 2 \sqrt{2} e, 2 \sqrt{2} e\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−(1−2W(x28e)W(x28e)+1−2W(x28e)+1+2W(x28e)(W(x28e)+1)2)W(x28e)W(x28e)+1−2W(x28e)W(x28e)+1)eW(x28e)+1x3=0\frac{2 \left(1 - \frac{\left(1 - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} + \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{\left(W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1\right)^{2}}\right) W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}\right) e^{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−22+22e22+1x_{1} = - 2 \sqrt{2 + 2 \sqrt{2}} e^{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(1−(1−2W(x28e)W(x28e)+1−2W(x28e)+1+2W(x28e)(W(x28e)+1)2)W(x28e)W(x28e)+1−2W(x28e)W(x28e)+1)eW(x28e)+1x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{\left(1 - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} + \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{\left(W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1\right)^{2}}\right) W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}\right) e^{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(1−(1−2W(x28e)W(x28e)+1−2W(x28e)+1+2W(x28e)(W(x28e)+1)2)W(x28e)W(x28e)+1−2W(x28e)W(x28e)+1)eW(x28e)+1x3)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{\left(1 - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} + \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{\left(W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1\right)^{2}}\right) W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1} - \frac{2 W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right)}{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}\right) e^{W\left(\frac{x^{2}}{8 e}\right) + 1}}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−22+22e22+1]\left(-\infty, - 2 \sqrt{2 + 2 \sqrt{2}} e^{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}\right]
Convexa en los intervalos
[−22+22e22+1,∞)\left[- 2 \sqrt{2 + 2 \sqrt{2}} e^{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
eW(x2e−18)+1x=−eW(x2e−18)+1x\frac{e^{W\left(\frac{x^{2} e^{-1}}{8}\right) + 1}}{x} = - \frac{e^{W\left(\frac{x^{2} e^{-1}}{8}\right) + 1}}{x}
- No
eW(x2e−18)+1x=eW(x2e−18)+1x\frac{e^{W\left(\frac{x^{2} e^{-1}}{8}\right) + 1}}{x} = \frac{e^{W\left(\frac{x^{2} e^{-1}}{8}\right) + 1}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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