Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp^(2(x+2))/2(x+2)

Gráfico de la función y = exp^(2(x+2))/2(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2*(x + 2)        
       E                 
f(x) = ----------*(x + 2)
           2
f(x)=e2(x+2)2(x+2)f{\left(x \right)} = \frac{e^{2 \left(x + 2\right)}}{2} \left(x + 2\right) 
f = (E^(2*(x + 2))/2)*(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200000000000200000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e2(x+2)2(x+2)=0\frac{e^{2 \left(x + 2\right)}}{2} \left(x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=−36.5528319076254x_{1} = -36.5528319076254
x2=−80.4387803330419x_{2} = -80.4387803330419
x3=−74.4453678375428x_{3} = -74.4453678375428
x4=−100.423021229498x_{4} = -100.423021229498
x5=−76.443042965628x_{5} = -76.443042965628
x6=−96.4256007756744x_{6} = -96.4256007756744
x7=−68.4532716391802x_{7} = -68.4532716391802
x8=−42.5198064107757x_{8} = -42.5198064107757
x9=−34.567273706796x_{9} = -34.567273706796
x10=−48.4967518857691x_{10} = -48.4967518857691
x11=−26.6581187031698x_{11} = -26.6581187031698
x12=−106.419546152707x_{12} = -106.419546152707
x13=−18.9108476139709x_{13} = -18.9108476139709
x14=−88.4315324762772x_{14} = -88.4315324762772
x15=−64.4594813057761x_{15} = -64.4594813057761
x16=−110.417456216542x_{16} = -110.417456216542
x17=−94.4269803908933x_{17} = -94.4269803908933
x18=−90.4299412042358x_{18} = -90.4299412042358
x19=−92.4284256014174x_{19} = -92.4284256014174
x20=−40.5294259176999x_{20} = -40.5294259176999
x21=−66.4562694336153x_{21} = -66.4562694336153
x22=−98.4242823853152x_{22} = -98.4242823853152
x23=−38.5403401551302x_{23} = -38.5403401551302
x24=−46.5036237757639x_{24} = -46.5036237757639
x25=−70.4504671725702x_{25} = -70.4504671725702
x26=−28.628369572651x_{26} = -28.628369572651
x27=−44.5112629711588x_{27} = -44.5112629711588
x28=−102.421813657552x_{28} = -102.421813657552
x29=−2x_{29} = -2
x30=−78.4408508191288x_{30} = -78.4408508191288
x31=−58.4706589232168x_{31} = -58.4706589232168
x32=−30.6042039159275x_{32} = -30.6042039159275
x33=−52.4848882937228x_{33} = -52.4848882937228
x34=−60.4666463153532x_{34} = -60.4666463153532
x35=−62.4629310925067x_{35} = -62.4629310925067
x36=−17.0740840979127x_{36} = -17.0740840979127
x37=−56.4750062227357x_{37} = -56.4750062227357
x38=−82.4368216405647x_{38} = -82.4368216405647
x39=−84.434965914994x_{39} = -84.434965914994
x40=−32.5841669729212x_{40} = -32.5841669729212
x41=−72.4478378859715x_{41} = -72.4478378859715
x42=−22.7448218335939x_{42} = -22.7448218335939
x43=−50.4905367883253x_{43} = -50.4905367883253
x44=−20.8120890441258x_{44} = -20.8120890441258
x45=−54.479732054378x_{45} = -54.479732054378
x46=−86.4332052360421x_{46} = -86.4332052360421
x47=−108.418480319111x_{47} = -108.418480319111
x48=−24.6957023751319x_{48} = -24.6957023751319
x49=−104.420656323043x_{49} = -104.420656323043
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (E^(2*(x + 2))/2)*(x + 2).
2e2⋅222 \frac{e^{2 \cdot 2}}{2}
Resultado:
f(0)=e4f{\left(0 \right)} = e^{4}
Punto:
(0, exp(4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+2)e2x+4+e2(x+2)2=0\left(x + 2\right) e^{2 x + 4} + \frac{e^{2 \left(x + 2\right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−52x_{1} = - \frac{5}{2}
Signos de extremos en los puntos:
         -1  
       -e    
(-5/2, -----)
         4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−52x_{1} = - \frac{5}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−52,∞)\left[- \frac{5}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−52]\left(-\infty, - \frac{5}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((x+2)e2x+4+e2(x+2))=02 \left(\left(x + 2\right) e^{2 x + 4} + e^{2 \left(x + 2\right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3,∞)\left[-3, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3]\left(-\infty, -3\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e2(x+2)2(x+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 \left(x + 2\right)}}{2} \left(x + 2\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(e2(x+2)2(x+2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 \left(x + 2\right)}}{2} \left(x + 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (E^(2*(x + 2))/2)*(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)e2x+42x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{2 x + 4}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x+2)e2x+42x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{2 x + 4}}{2 x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e2(x+2)2(x+2)=(2−x)e4−2x2\frac{e^{2 \left(x + 2\right)}}{2} \left(x + 2\right) = \frac{\left(2 - x\right) e^{4 - 2 x}}{2}
- No
e2(x+2)2(x+2)=−(2−x)e4−2x2\frac{e^{2 \left(x + 2\right)}}{2} \left(x + 2\right) = - \frac{\left(2 - x\right) e^{4 - 2 x}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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