Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2^{- x}}{\left(\frac{x}{2}\right)!} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)} + \frac{2^{- 2 x} \left(- 2^{x} \log{\left(2 \right)} \left(\frac{x}{2}\right)! - \frac{2^{x} \Gamma\left(\frac{x}{2} + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,\frac{x}{2} + 1 \right)}}{2}\right) x!}{\left(\frac{x}{2}\right)!^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1.92326428993672$$
Signos de extremos en los puntos:
(1.9232642899367247, 0.499648097443242)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1.92326428993672$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1.92326428993672, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.92326428993672\right]$$