Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ factorial(x)/(factorial(x/2)*2^x)

Gráfico de la función y = factorial(x)/(factorial(x/2)*2^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x!  
f(x) = -------
       /x\   x
       |-|!*2 
       \2/
$$f{\left(x \right)} = \frac{x!}{2^{x} \left(\frac{x}{2}\right)!}$$ 
f = factorial(x)/((2^x*factorial(x/2)))
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x!}{2^{x} \left(\frac{x}{2}\right)!} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -41.4669645365506$$
$$x_{2} = -53.8477838257628$$
$$x_{3} = -36.7423249254421$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en factorial(x)/((factorial(x/2)*2^x)).
$$\frac{0!}{2^{0} \left(\frac{0}{2}\right)!}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2^{- x}}{\left(\frac{x}{2}\right)!} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)} + \frac{2^{- 2 x} \left(- 2^{x} \log{\left(2 \right)} \left(\frac{x}{2}\right)! - \frac{2^{x} \Gamma\left(\frac{x}{2} + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,\frac{x}{2} + 1 \right)}}{2}\right) x!}{\left(\frac{x}{2}\right)!^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1.92326428993672$$
Signos de extremos en los puntos:
(1.9232642899367247, 0.499648097443242)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1.92326428993672$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1.92326428993672, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.92326428993672\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x!}{2^{x} \left(\frac{x}{2}\right)!}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!}{2^{x} \left(\frac{x}{2}\right)!}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función factorial(x)/((factorial(x/2)*2^x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{2^{- x}}{\left(\frac{x}{2}\right)!} x!}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2^{- x}}{\left(\frac{x}{2}\right)!} x!}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x!}{2^{x} \left(\frac{x}{2}\right)!} = \frac{2^{x} \left(- x\right)!}{\left(- \frac{x}{2}\right)!}$$
- No
$$\frac{x!}{2^{x} \left(\frac{x}{2}\right)!} = - \frac{2^{x} \left(- x\right)!}{\left(- \frac{x}{2}\right)!}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen