Sr Examen

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e^(1/(1-x))
Trazado el gráfico de la función/ e^(1/(1-x))

Gráfico de la función y = e^(1/(1-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1  
        -----
        1 - x
f(x) = E
$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{1}{1 - x}}$$ 
f = E^(1/(1 - x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{\frac{1}{1 - x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(1/(1 - x)).
$$e^{\frac{1}{1 - 0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = e$$
Punto:
(0, E)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{e^{\frac{1}{1 - x}}}{\left(1 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(-2 + \frac{1}{x - 1}\right) e^{- \frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{1}{x - 1}\right) e^{- \frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{1}{x - 1}\right) e^{- \frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{1 - x}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{1 - x}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(1/(1 - x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{1 - x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{1 - x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{\frac{1}{1 - x}} = e^{\frac{1}{x + 1}}$$
- No
$$e^{\frac{1}{1 - x}} = - e^{\frac{1}{x + 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = e^(1/(1-x))
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