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y=(x+1)²-1
Trazado el gráfico de la función/ y=(x+1)²-1

Gráfico de la función y = y=(x+1)²-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2    
f(x) = (x + 1)  - 1
f(x)=(x+1)2−1f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{2} - 1 
f = (x + 1)^2 - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+1)2−1=0\left(x + 1\right)^{2} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2x_{2} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 1)^2 - 1.
−1+12-1 + 1^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+2=02 x + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2=02 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)2−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right)^{2} - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)2−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right)^{2} - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 1)^2 - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)2−1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} - 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)2−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} - 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+1)2−1=(1−x)2−1\left(x + 1\right)^{2} - 1 = \left(1 - x\right)^{2} - 1
- No
(x+1)2−1=1−(1−x)2\left(x + 1\right)^{2} - 1 = 1 - \left(1 - x\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=(x+1)²-1
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