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Trazado el gráfico de la función/ logx+1(4-x^2)

Gráfico de la función y = logx+1(4-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     2
f(x) = log(x) + 4 - x
f(x)=(4−x2)+log⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(4 - x^{2}\right) + \log{\left(x \right)} 
f = 4 - x^2 + log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(4−x2)+log⁡(x)=0\left(4 - x^{2}\right) + \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=2.18688810318733x_{1} = 2.18688810318733
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x) + 4 - x^2.
log⁡(0)+(4−02)\log{\left(0 \right)} + \left(4 - 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x+1x=0- 2 x + \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
    ___                 /  ___\ 
 -\/ 2    7             |\/ 2 | 
(-------, - + pi*I + log|-----|)
    2     2             \  2  / 

   ___         /  ___\ 
 \/ 2   7      |\/ 2 | 
(-----, - + log|-----|)
   2    2      \  2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,22]\left(-\infty, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
Crece en los intervalos
[22,∞)\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2+1x2)=0- (2 + \frac{1}{x^{2}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((4−x2)+log⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(4 - x^{2}\right) + \log{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((4−x2)+log⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(4 - x^{2}\right) + \log{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x) + 4 - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((4−x2)+log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 - x^{2}\right) + \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((4−x2)+log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 - x^{2}\right) + \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(4−x2)+log⁡(x)=−x2+log⁡(−x)+4\left(4 - x^{2}\right) + \log{\left(x \right)} = - x^{2} + \log{\left(- x \right)} + 4
- No
(4−x2)+log⁡(x)=x2−log⁡(−x)−4\left(4 - x^{2}\right) + \log{\left(x \right)} = x^{2} - \log{\left(- x \right)} - 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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