Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- (x^ seis)/(exp^(2x/ tres))
- (x en el grado 6) dividir por ( exponente de en el grado (2x dividir por 3))
- (x en el grado seis) dividir por ( exponente de en el grado (2x dividir por tres))
- (x6)/(exp(2x/3))
- x6/exp2x/3
- (x⁶)/(exp^(2x/3))
- x^6/exp^2x/3
- (x^6) dividir por (exp^(2x dividir por 3))
-
Expresiones con funciones
- Exponente exp
- exp(x^3)*sqrt(x^2)-x-1
- exp(-x)/(2*x+3)^4
- exp(x)+exp(x*(-3+sqrt(21))/2)+exp(x*(-3-sqrt(21))/2)
- exp(10*x)/9
- exp(cosx-sinx)
Gráfico de la función y = (x^6)/(exp^(2x/3))
Solución
Ha introducido
[src]
6
x
f(x) = ----
2*x
---
3
E
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}}$$
f = x^6/E^((2*x)/3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 97.8166430889087$$
$$x_{2} = 81.2637846574295$$
$$x_{3} = 103.487504238663$$
$$x_{4} = 134.352945372517$$
$$x_{5} = 124.627387229014$$
$$x_{6} = 113.0416166825$$
$$x_{7} = 88.5126312062131$$
$$x_{8} = 126.5680769814$$
$$x_{9} = 111.122244826586$$
$$x_{10} = 109.206833509121$$
$$x_{11} = 83.0549616574454$$
$$x_{12} = 116.891181490104$$
$$x_{13} = 99.7007933178608$$
$$x_{14} = 84.8611721200032$$
$$x_{15} = 114.964677902782$$
$$x_{16} = 105.389116735304$$
$$x_{17} = 92.2079536599161$$
$$x_{18} = 94.0695567741399$$
$$x_{19} = 107.295681113693$$
$$x_{20} = 128.511108323558$$
$$x_{21} = 101.591246979282$$
$$x_{22} = 118.820901988382$$
$$x_{23} = 86.6808475194187$$
$$x_{24} = 122.689186101097$$
$$x_{25} = 130.456345563829$$
$$x_{26} = 95.9393552232888$$
$$x_{27} = 90.3553435221793$$
$$x_{28} = 120.753633184978$$
$$x_{29} = 132.403663281236$$
$$x_{30} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 97.8166430889087$$
$$x_{2} = 81.2637846574295$$
$$x_{3} = 103.487504238663$$
$$x_{4} = 134.352945372517$$
$$x_{5} = 124.627387229014$$
$$x_{6} = 113.0416166825$$
$$x_{7} = 88.5126312062131$$
$$x_{8} = 126.5680769814$$
$$x_{9} = 111.122244826586$$
$$x_{10} = 109.206833509121$$
$$x_{11} = 83.0549616574454$$
$$x_{12} = 116.891181490104$$
$$x_{13} = 99.7007933178608$$
$$x_{14} = 84.8611721200032$$
$$x_{15} = 114.964677902782$$
$$x_{16} = 105.389116735304$$
$$x_{17} = 92.2079536599161$$
$$x_{18} = 94.0695567741399$$
$$x_{19} = 107.295681113693$$
$$x_{20} = 128.511108323558$$
$$x_{21} = 101.591246979282$$
$$x_{22} = 118.820901988382$$
$$x_{23} = 86.6808475194187$$
$$x_{24} = 122.689186101097$$
$$x_{25} = 130.456345563829$$
$$x_{26} = 95.9393552232888$$
$$x_{27} = 90.3553435221793$$
$$x_{28} = 120.753633184978$$
$$x_{29} = 132.403663281236$$
$$x_{30} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{6} e^{- \frac{4 x}{3}} e^{\frac{2 x}{3}}}{3} + 6 x^{5} e^{- \frac{2 x}{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 9$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 9\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[9, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{6} e^{- \frac{4 x}{3}} e^{\frac{2 x}{3}}}{3} + 6 x^{5} e^{- \frac{2 x}{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
-6 (9, 531441*e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 9$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 9\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[9, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 x^{4} \left(\frac{2 x^{2}}{9} - 4 x + 15\right) e^{- \frac{2 x}{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9 - \frac{3 \sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \sqrt{6}}{2} + 9$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 9 - \frac{3 \sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \sqrt{6}}{2} + 9, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[9 - \frac{3 \sqrt{6}}{2}, \frac{3 \sqrt{6}}{2} + 9\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 x^{4} \left(\frac{2 x^{2}}{9} - 4 x + 15\right) e^{- \frac{2 x}{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9 - \frac{3 \sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \sqrt{6}}{2} + 9$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 9 - \frac{3 \sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \sqrt{6}}{2} + 9, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[9 - \frac{3 \sqrt{6}}{2}, \frac{3 \sqrt{6}}{2} + 9\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^6/E^((2*x)/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} e^{- \frac{2 x}{3}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} e^{- \frac{2 x}{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} e^{- \frac{2 x}{3}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} e^{- \frac{2 x}{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}} = x^{6} e^{\frac{2 x}{3}}$$
- No
$$\frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}} = - x^{6} e^{\frac{2 x}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}} = x^{6} e^{\frac{2 x}{3}}$$
- No
$$\frac{x^{6}}{e^{\frac{2 x}{3}}} = - x^{6} e^{\frac{2 x}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar