Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (2(x-1)^3)/(x^2-2x+7)

Gráfico de la función y = (2(x-1)^3)/(x^2-2x+7)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 3 
        2*(x - 1)  
f(x) = ------------
        2          
       x  - 2*x + 7
f(x)=2(x−1)3(x2−2x)+7f{\left(x \right)} = \frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 7} 
f = (2*(x - 1)^3)/(x^2 - 2*x + 7)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2(x−1)3(x2−2x)+7=0\frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 7} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=0.999958073429706x_{1} = 0.999958073429706
x2=0.999922519936164x_{2} = 0.999922519936164
x3=0.999941773052577x_{3} = 0.999941773052577
x4=1.00008656709085x_{4} = 1.00008656709085
x5=0.999934528041809x_{5} = 0.999934528041809
x6=1.00006521869026x_{6} = 1.00006521869026
x7=0.999905255028942x_{7} = 0.999905255028942
x8=0.999844108465865x_{8} = 0.999844108465865
x9=1.00005498879492x_{9} = 1.00005498879492
x10=0.999871339667214x_{10} = 0.999871339667214
x11=1.00008317870442x_{11} = 1.00008317870442
x12=1.0000475155081x_{12} = 1.0000475155081
x13=1.00006951822256x_{13} = 1.00006951822256
x14=1.00005802604594x_{14} = 1.00005802604594
x15=1.00005358543331x_{15} = 1.00005358543331
x16=0.999940114847955x_{16} = 0.999940114847955
x17=1.00005967278096x_{17} = 1.00005967278096
x18=1.00005225138908x_{18} = 1.00005225138908
x19=1.00004861766842x_{19} = 1.00004861766842
x20=1.00006326020075x_{20} = 1.00006326020075
x21=1.00004977181512x_{21} = 1.00004977181512
x22=0.999916412032298x_{22} = 0.999916412032298
x23=0.999912990275615x_{23} = 0.999912990275615
x24=0.999863317969597x_{24} = 0.999863317969597
x25=0.999953408928348x_{25} = 0.999953408928348
x26=0.999919579654418x_{26} = 0.999919579654418
x27=1.00007188462148x_{27} = 1.00007188462148
x28=1.00015454628981x_{28} = 1.00015454628981
x29=1.00011428064621x_{29} = 1.00011428064621
x30=0.999944830643401x_{30} = 0.999944830643401
x31=1.00010853243673x_{31} = 1.00010853243673
x32=1.00004545378104x_{32} = 1.00004545378104
x33=0.999958896964561x_{33} = 0.999958896964561
x34=1.00009856644681x_{34} = 1.00009856644681
x35=0.999951240979656x_{35} = 0.999951240979656
x36=1.00006730073046x_{36} = 1.00006730073046
x37=1.00004267457882x_{37} = 1.00004267457882
x38=0.999854300550059x_{38} = 0.999854300550059
x39=0.99993242975061x_{39} = 0.99993242975061
x40=0.99995234944525x_{40} = 0.99995234944525
x41=0.999946243044727x_{41} = 0.999946243044727
x42=0.999936501371922x_{42} = 0.999936501371922
x43=1.00006141469928x_{43} = 1.00006141469928
x44=0.999948862960193x_{44} = 0.999948862960193
x45=0.999925256101931x_{45} = 0.999925256101931
x46=0.999938360460386x_{46} = 0.999938360460386
x47=0.999878512974463x_{47} = 0.999878512974463
x48=1.00009422247884x_{48} = 1.00009422247884
x49=0.99993019441545x_{49} = 0.99993019441545
x50=1.00004182183691x_{50} = 1.00004182183691
x51=1.00012064371791x_{51} = 1.00012064371791
x52=0.999884959441192x_{52} = 0.999884959441192
x53=1.00007712732205x_{53} = 1.00007712732205
x54=1.00004448822834x_{54} = 1.00004448822834
x55=0.999927808370084x_{55} = 0.999927808370084
x56=1.00014451205425x_{56} = 1.00014451205425
x57=0.999947585471491x_{57} = 0.999947585471491
x58=1.00009023652439x_{58} = 1.00009023652439
x59=1.00005098168744x_{59} = 1.00005098168744
x60=1.00008004088585x_{60} = 1.00008004088585
x61=1.00012771999605x_{61} = 1.00012771999605
x62=0.999943342701458x_{62} = 0.999943342701458
x63=0.999955393314557x_{63} = 0.999955393314557
x64=0.999900863044698x_{64} = 0.999900863044698
x65=1.00004646192007x_{65} = 1.00004646192007
x66=0.999950080078814x_{66} = 0.999950080078814
x67=0.999909283329691x_{67} = 0.999909283329691
x68=0.999847193407133x_{68} = 0.999847193407133
x69=1.00005646697011x_{69} = 1.00005646697011
x70=1.00007441519292x_{70} = 1.00007441519292
x71=1.00004356263348x_{71} = 1.00004356263348
x72=0.999896057577483x_{72} = 0.999896057577483
x73=0.999954422586877x_{73} = 0.999954422586877
x74=0.999890779725251x_{74} = 0.999890779725251
x75=0.999956323767811x_{75} = 0.999956323767811
x76=1.00010331721212x_{76} = 1.00010331721212
x77=0.99995721638947x_{77} = 0.99995721638947
x78=1.00013562817156x_{78} = 1.00013562817156
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*(x - 1)^3)/(x^2 - 2*x + 7).
2(−1)3(02−0)+7\frac{2 \left(-1\right)^{3}}{\left(0^{2} - 0\right) + 7}
Resultado:
f(0)=−27f{\left(0 \right)} = - \frac{2}{7}
Punto:
(0, -2/7)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(2−2x)(x−1)3((x2−2x)+7)2+6(x−1)2(x2−2x)+7=0\frac{2 \left(2 - 2 x\right) \left(x - 1\right)^{3}}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 7\right)^{2}} + \frac{6 \left(x - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 7} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(x−1)((x−1)2(4(x−1)2x2−2x+7−1)x2−2x+7−6(x−1)2x2−2x+7+3)x2−2x+7=0\frac{4 \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 7} - 1\right)}{x^{2} - 2 x + 7} - \frac{6 \left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 7} + 3\right)}{x^{2} - 2 x + 7} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=1−32x_{2} = 1 - 3 \sqrt{2}
x3=1+32x_{3} = 1 + 3 \sqrt{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1−32]∪[1,∞)\left(-\infty, 1 - 3 \sqrt{2}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]∪[1+32,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[1 + 3 \sqrt{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2(x−1)3(x2−2x)+7)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 7}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2(x−1)3(x2−2x)+7)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 7}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*(x - 1)^3)/(x^2 - 2*x + 7), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2(x−1)3x((x2−2x)+7))=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 7\right)}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=2xy = 2 x
lim⁡x→∞(2(x−1)3x((x2−2x)+7))=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 7\right)}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2xy = 2 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2(x−1)3(x2−2x)+7=2(−x−1)3x2+2x+7\frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 7} = \frac{2 \left(- x - 1\right)^{3}}{x^{2} + 2 x + 7}
- No
2(x−1)3(x2−2x)+7=−2(−x−1)3x2+2x+7\frac{2 \left(x - 1\right)^{3}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 7} = - \frac{2 \left(- x - 1\right)^{3}}{x^{2} + 2 x + 7}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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