Sr Examen

Otras calculadoras

(x^3)/(x^2-1)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • e^(-x^2) e^(-x^2)
  • 4*x-x^2 4*x-x^2
  • x*e^(-x)^2 x*e^(-x)^2
  • 2*x^3-15*x^2+36*x-32 2*x^3-15*x^2+36*x-32
  • Integral de d{x}:
  • (x^3)/(x^2-1)
  • ¿cómo vas a descomponer esta expresión en fracciones?:
  • (x^3)/(x^2-1)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ tres)/(x^ dos - uno)
  • (x al cubo ) dividir por (x al cuadrado menos 1)
  • (x en el grado tres) dividir por (x en el grado dos menos uno)
  • (x3)/(x2-1)
  • x3/x2-1
  • (x³)/(x²-1)
  • (x en el grado 3)/(x en el grado 2-1)
  • x^3/x^2-1
  • (x^3) dividir por (x^2-1)

  • Expresiones semejantes

  • (x^3)/(x^2+1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^3)/(x^2-1)

Gráfico de la función y = (x^3)/(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3  
         x   
f(x) = ------
        2    
       x  - 1
f(x)=x3x2−1f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1} 
f = x^3/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3x2−1=0\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=3.22717842026557⋅10−5x_{1} = 3.22717842026557 \cdot 10^{-5}
x2=4.51615820073414⋅10−5x_{2} = 4.51615820073414 \cdot 10^{-5}
x3=1.39639656625653⋅10−5x_{3} = 1.39639656625653 \cdot 10^{-5}
x4=2.19509777092235⋅10−5x_{4} = 2.19509777092235 \cdot 10^{-5}
x5=−1.83091515307426⋅10−5x_{5} = -1.83091515307426 \cdot 10^{-5}
x6=−6.0574173203798⋅10−5x_{6} = -6.0574173203798 \cdot 10^{-5}
x7=5.2207525204139⋅10−5x_{7} = 5.2207525204139 \cdot 10^{-5}
x8=−7.44724958198743⋅10−5x_{8} = -7.44724958198743 \cdot 10^{-5}
x9=−3.51864737764513⋅10−5x_{9} = -3.51864737764513 \cdot 10^{-5}
x10=−2.04831244816923⋅10−5x_{10} = -2.04831244816923 \cdot 10^{-5}
x11=1.08898332365885⋅10−5x_{11} = 1.08898332365885 \cdot 10^{-5}
x12=2.34460265212289⋅10−5x_{12} = 2.34460265212289 \cdot 10^{-5}
x13=3.56472597229872⋅10−5x_{13} = 3.56472597229872 \cdot 10^{-5}
x14=−1.08472141172313⋅10−5x_{14} = -1.08472141172313 \cdot 10^{-5}
x15=1.66539322097999⋅10−5x_{15} = 1.66539322097999 \cdot 10^{-5}
x16=−5.29187129903907⋅10−5x_{16} = -5.29187129903907 \cdot 10^{-5}
x17=−4.44161874624345⋅10−5x_{17} = -4.44161874624345 \cdot 10^{-5}
x18=1.342236195435⋅10−5x_{18} = 1.342236195435 \cdot 10^{-5}
x19=−3.92536494407101⋅10−5x_{19} = -3.92536494407101 \cdot 10^{-5}
x20=1.20238847944317⋅10−5x_{20} = 1.20238847944317 \cdot 10^{-5}
x21=1.51903427544602⋅10−5x_{21} = 1.51903427544602 \cdot 10^{-5}
x22=1.02458034133386⋅10−5x_{22} = 1.02458034133386 \cdot 10^{-5}
x23=7.67083144416217⋅10−5x_{23} = 7.67083144416217 \cdot 10^{-5}
x24=−1.19719263402108⋅10−5x_{24} = -1.19719263402108 \cdot 10^{-5}
x25=−1.73872944593724⋅10−5x_{25} = -1.73872944593724 \cdot 10^{-5}
x26=−1.28613060064861⋅10−5x_{26} = -1.28613060064861 \cdot 10^{-5}
x27=6.20057747564769⋅10−5x_{27} = 6.20057747564769 \cdot 10^{-5}
x28=3.98307650781915⋅10−5x_{28} = 3.98307650781915 \cdot 10^{-5}
x29=0x_{29} = 0
x30=−3.18949748349294⋅10−5x_{30} = -3.18949748349294 \cdot 10^{-5}
x31=1.84313405992713⋅10−5x_{31} = 1.84313405992713 \cdot 10^{-5}
x32=1.29213121771585⋅10−5x_{32} = 1.29213121771585 \cdot 10^{-5}
x33=−1.05179268996856⋅10−5x_{33} = -1.05179268996856 \cdot 10^{-5}
x34=1.1243259607334⋅10−5x_{34} = 1.1243259607334 \cdot 10^{-5}
x35=−5.12042741549476⋅10−5x_{35} = -5.12042741549476 \cdot 10^{-5}
x36=−9.77021946752451⋅10−5x_{36} = -9.77021946752451 \cdot 10^{-5}
x37=−1.38938794491965⋅10−5x_{37} = -1.38938794491965 \cdot 10^{-5}
x38=−1.24006502327191⋅10−5x_{38} = -1.24006502327191 \cdot 10^{-5}
x39=1.74973925703168⋅10−5x_{39} = 1.74973925703168 \cdot 10^{-5}
x40=2.51618215228747⋅10−5x_{40} = 2.51618215228747 \cdot 10^{-5}
x41=−2.32480068472512⋅10−5x_{41} = -2.32480068472512 \cdot 10^{-5}
x42=1.24564149000914⋅10−5x_{42} = 1.24564149000914 \cdot 10^{-5}
x43=1.4551271928972⋅10−5x_{43} = 1.4551271928972 \cdot 10^{-5}
x44=−2.17774976012942⋅10−5x_{44} = -2.17774976012942 \cdot 10^{-5}
x45=2.94881744011949⋅10−5x_{45} = 2.94881744011949 \cdot 10^{-5}
x46=−1.65542082274722⋅10−5x_{46} = -1.65542082274722 \cdot 10^{-5}
x47=−1.93348554829681⋅10−5x_{47} = -1.93348554829681 \cdot 10^{-5}
x48=−2.49336033753144⋅10−5x_{48} = -2.49336033753144 \cdot 10^{-5}
x49=−1.57976110420401⋅10−5x_{49} = -1.57976110420401 \cdot 10^{-5}
x50=1.94712556311211⋅10−5x_{50} = 1.94712556311211 \cdot 10^{-5}
x51=1.58883662823119⋅10−5x_{51} = 1.58883662823119 \cdot 10^{-5}
x52=−1.15719184340806⋅10−5x_{52} = -1.15719184340806 \cdot 10^{-5}
x53=−1.02080758042044⋅10−5x_{53} = -1.02080758042044 \cdot 10^{-5}
x54=2.71517522466557⋅10−5x_{54} = 2.71517522466557 \cdot 10^{-5}
x55=−1.44751619396974⋅10−5x_{55} = -1.44751619396974 \cdot 10^{-5}
x56=−1.33576097897323⋅10−5x_{56} = -1.33576097897323 \cdot 10^{-5}
x57=−2.68857710606591⋅10−5x_{57} = -2.68857710606591 \cdot 10^{-5}
x58=−2.9174073389914⋅10−5x_{58} = -2.9174073389914 \cdot 10^{-5}
x59=−1.51073945424544⋅10−5x_{59} = -1.51073945424544 \cdot 10^{-5}
x60=1.16204482588066⋅10−5x_{60} = 1.16204482588066 \cdot 10^{-5}
x61=0.000101800776441895x_{61} = 0.000101800776441895
x62=−1.11978292621615⋅10−5x_{62} = -1.11978292621615 \cdot 10^{-5}
x63=2.0636385729793⋅10−5x_{63} = 2.0636385729793 \cdot 10^{-5}
x64=1.05579883209673⋅10−5x_{64} = 1.05579883209673 \cdot 10^{-5}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3/(x^2 - 1).
03−1+02\frac{0^{3}}{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x4(x2−1)2+3x2x2−1=0- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−3x_{2} = - \sqrt{3}
x3=3x_{3} = \sqrt{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

              ___ 
    ___  -3*\/ 3  
(-\/ 3, --------)
            2     

            ___ 
   ___  3*\/ 3  
(\/ 3, -------)
           2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = \sqrt{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[3,∞)\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−3,3]\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(x2(4x2x2−1−1)x2−1−6x2x2−1+3)x2−1=0\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2x(x2(4x2x2−1−1)x2−1−6x2x2−1+3)x2−1)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(2x(x2(4x2x2−1−1)x2−1−6x2x2−1+3)x2−1)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2x(x2(4x2x2−1−1)x2−1−6x2x2−1+3)x2−1)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2x(x2(4x2x2−1−1)x2−1−6x2x2−1+3)x2−1)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3x2−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3x2−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2x2−1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2x2−1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3x2−1=−x3x2−1\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}
- No
x3x2−1=x3x2−1\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3)/(x^2-1)
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