Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(x+4/(9-x))/log(x^2)

Gráfico de la función y = log(x+4/(9-x))/log(x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /      4  \
       log|x + -----|
          \    9 - x/
f(x) = --------------
             / 2\    
          log\x /
f(x)=log⁡(x+49−x)log⁡(x2)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + \frac{4}{9 - x} \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}} 
f = log(x + 4/(9 - x))/log(x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=9x_{3} = 9
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+49−x)log⁡(x2)=0\frac{\log{\left(x + \frac{4}{9 - x} \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=5−25x_{1} = 5 - 2 \sqrt{5}
x2=25+5x_{2} = 2 \sqrt{5} + 5
Solución numérica
x1=0.527864045000421x_{1} = 0.527864045000421
x2=9.47213595499958x_{2} = 9.47213595499958
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + 4/(9 - x))/log(x^2).
log⁡(49−0)log⁡(02)\frac{\log{\left(\frac{4}{9 - 0} \right)}}{\log{\left(0^{2} \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1+4(9−x)2(x+49−x)log⁡(x2)−2log⁡(x+49−x)xlog⁡(x2)2=0\frac{1 + \frac{4}{\left(9 - x\right)^{2}}}{\left(x + \frac{4}{9 - x}\right) \log{\left(x^{2} \right)}} - \frac{2 \log{\left(x + \frac{4}{9 - x} \right)}}{x \log{\left(x^{2} \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=24588.5361462439x_{1} = 24588.5361462439
x2=22559.0808554189x_{2} = 22559.0808554189
x3=13821.1001684757x_{3} = 13821.1001684757
x4=16499.0036697859x_{4} = 16499.0036697859
x5=27980.0437640936x_{5} = 27980.0437640936
x6=23911.5742761268x_{6} = 23911.5742761268
x7=30019.9361475354x_{7} = 30019.9361475354
x8=25943.832100175x_{8} = 25943.832100175
x9=29339.5787266134x_{9} = 29339.5787266134
x10=27300.884689026x_{10} = 27300.884689026
x11=9823.4917876132x_{11} = 9823.4917876132
x12=26622.1440992107x_{12} = 26622.1440992107
x13=10488.2492187904x_{13} = 10488.2492187904
x14=30700.6750966907x_{14} = 30700.6750966907
x15=19860.1644815706x_{15} = 19860.1644815706
x16=20534.1022610809x_{16} = 20534.1022610809
x17=28659.6115768734x_{17} = 28659.6115768734
x18=15158.7717833455x_{18} = 15158.7717833455
x19=25265.9591656405x_{19} = 25265.9591656405
x20=11153.5649228019x_{20} = 11153.5649228019
x21=11819.4857814118x_{21} = 11819.4857814118
x22=23235.0851765489x_{22} = 23235.0851765489
x23=12486.0400268801x_{23} = 12486.0400268801
x24=7831.61646129693x_{24} = 7831.61646129693
x25=17170.0527933322x_{25} = 17170.0527933322
x26=13153.2428314584x_{26} = 13153.2428314584
x27=17841.7070875579x_{27} = 17841.7070875579
x28=14489.6115176182x_{28} = 14489.6115176182
x29=9159.21887065643x_{29} = 9159.21887065643
x30=21883.5737012967x_{30} = 21883.5737012967
x31=18513.9530261346x_{31} = 18513.9530261346
x32=15828.5726690929x_{32} = 15828.5726690929
x33=5.58864244271429x_{33} = 5.58864244271429
x34=21208.5764699667x_{34} = 21208.5764699667
x35=8495.31748448982x_{35} = 8495.31748448982
x36=31381.7871417024x_{36} = 31381.7871417024
x37=19186.7767914446x_{37} = 19186.7767914446
Signos de extremos en los puntos:
(24588.536146243852, 0.499999999672681)

(22559.08085541885, 0.499999999607785)

(13821.100168475743, 0.499999998901109)

(16499.00366978589, 0.499999999243019)

(27980.04376409364, 0.499999999750423)

(23911.574276126797, 0.499999999652923)

(30019.936147535376, 0.499999999784673)

(25943.832100175045, 0.499999999707544)

(29339.578726613367, 0.499999999774067)

(27300.884689026036, 0.499999999737218)

(9823.491787613204, 0.499999997743366)

(26622.144099210716, 0.499999999722963)

(10488.249218790406, 0.499999998034472)

(30700.675096690655, 0.499999999794565)

(19860.164481570624, 0.499999999487397)

(20534.10226108094, 0.499999999522111)

(28659.61157687338, 0.499999999762676)

(15158.771783345506, 0.499999999095312)

(25265.959165640492, 0.499999999690832)

(11153.564922801941, 0.499999998273527)

(11819.48578141178, 0.499999998472165)

(23235.085176548884, 0.499999999631366)

(12486.040026880091, 0.499999998638953)

(7831.616461296932, 0.499999996358909)

(17170.052793332154, 0.499999999303905)

(13153.242831458361, 0.499999998780307)

(17841.707087557854, 0.499999999357867)

(14489.611517618196, 0.499999999005128)

(9159.218870656434, 0.499999997384074)

(21883.57370129671, 0.499999999581924)

(18513.95302613462, 0.499999999405908)

(15828.572669092884, 0.499999999173988)

(5.588642442714286, 0.555343578019234)

(21208.57646996672, 0.499999999553483)

(8495.31748448982, 0.499999996933708)

(31381.7871417024, 0.499999999803803)

(19186.77679144461, 0.499999999448855)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=22559.0808554189x_{1} = 22559.0808554189
x2=16499.0036697859x_{2} = 16499.0036697859
x3=23911.5742761268x_{3} = 23911.5742761268
x4=29339.5787266134x_{4} = 29339.5787266134
x5=25265.9591656405x_{5} = 25265.9591656405
x6=7831.61646129693x_{6} = 7831.61646129693
x7=17170.0527933322x_{7} = 17170.0527933322
x8=5.58864244271429x_{8} = 5.58864244271429
x9=31381.7871417024x_{9} = 31381.7871417024
x10=19186.7767914446x_{10} = 19186.7767914446
Puntos máximos de la función:
x10=27980.0437640936x_{10} = 27980.0437640936
x10=30019.9361475354x_{10} = 30019.9361475354
x10=26622.1440992107x_{10} = 26622.1440992107
x10=15158.7717833455x_{10} = 15158.7717833455
x10=17841.7070875579x_{10} = 17841.7070875579
Decrece en los intervalos
[31381.7871417024,∞)\left[31381.7871417024, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,5.58864244271429]\left(-\infty, 5.58864244271429\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=9x_{3} = 9
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+49−x)log⁡(x2))=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + \frac{4}{9 - x} \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=12y = \frac{1}{2}
lim⁡x→∞(log⁡(x+49−x)log⁡(x2))=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + \frac{4}{9 - x} \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=12y = \frac{1}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + 4/(9 - x))/log(x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+49−x)xlog⁡(x2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + \frac{4}{9 - x} \right)}}{x \log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+49−x)xlog⁡(x2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + \frac{4}{9 - x} \right)}}{x \log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+49−x)log⁡(x2)=log⁡(−x+4x+9)log⁡(x2)\frac{\log{\left(x + \frac{4}{9 - x} \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}} = \frac{\log{\left(- x + \frac{4}{x + 9} \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}
- No
log⁡(x+49−x)log⁡(x2)=−log⁡(−x+4x+9)log⁡(x2)\frac{\log{\left(x + \frac{4}{9 - x} \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}} = - \frac{\log{\left(- x + \frac{4}{x + 9} \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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