Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- ln((x^ dos - uno)/x)
- ln((x al cuadrado menos 1) dividir por x)
- ln((x en el grado dos menos uno) dividir por x)
- ln((x2-1)/x)
- lnx2-1/x
- ln((x²-1)/x)
- ln((x en el grado 2-1)/x)
- lnx^2-1/x
- ln((x^2-1) dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- ln((x^2+1)/x)
-
Expresiones con funciones
- ln
- ln(1-1/x^2)
- ln((3-2x-x))^2
- ln(1+e^(-x))
- ln(x^2-2*x+6)
- ln(x+1)/(x+2)
Gráfico de la función y = ln((x^2-1)/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|x - 1|
f(x) = log|------|
\ x /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)}$$
f = log((x^2 - 1)/x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(2 - \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(2 - \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{-2 + \sqrt{5}}$$
$$x_{2} = \sqrt{-2 + \sqrt{5}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{-2 + \sqrt{5}}, \sqrt{-2 + \sqrt{5}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{-2 + \sqrt{5}}\right] \cup \left[\sqrt{-2 + \sqrt{5}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{-2 + \sqrt{5}}$$
$$x_{2} = \sqrt{-2 + \sqrt{5}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{-2 + \sqrt{5}}, \sqrt{-2 + \sqrt{5}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{-2 + \sqrt{5}}\right] \cup \left[\sqrt{-2 + \sqrt{5}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((x^2 - 1)/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)} = \log{\left(- \frac{x^{2} - 1}{x} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)} = - \log{\left(- \frac{x^{2} - 1}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)} = \log{\left(- \frac{x^{2} - 1}{x} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\frac{x^{2} - 1}{x} \right)} = - \log{\left(- \frac{x^{2} - 1}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico