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Trazado el gráfico de la función/ ln(x^2+2x+2)

Gráfico de la función y = ln(x^2+2x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 2          \
f(x) = log\x  + 2*x + 2/
f(x)=log⁡((x2+2x)+2)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2 \right)} 
f = log(x^2 + 2*x + 2)
Gráfico de la función
-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0100.0000.0020.0040.0060.0080.02-0.02
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((x2+2x)+2)=0\log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1.00000025790208x_{1} = -1.00000025790208
x2=−0.999999729876219x_{2} = -0.999999729876219
x3=−1.00000051973576x_{3} = -1.00000051973576
x4=−0.999999306398937x_{4} = -0.999999306398937
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x^2 + 2*x + 2).
log⁡((02+0⋅2)+2)\log{\left(\left(0^{2} + 0 \cdot 2\right) + 2 \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(2)f{\left(0 \right)} = \log{\left(2 \right)}
Punto:
(0, log(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+2(x2+2x)+2=0\frac{2 x + 2}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2(x+1)2x2+2x+2+1)x2+2x+2=0\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 2} + 1\right)}{x^{2} + 2 x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2,0]\left[-2, 0\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡((x2+2x)+2)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡((x2+2x)+2)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x^2 + 2*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((x2+2x)+2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((x2+2x)+2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((x2+2x)+2)=log⁡(x2−2x+2)\log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2 \right)} = \log{\left(x^{2} - 2 x + 2 \right)}
- No
log⁡((x2+2x)+2)=−log⁡(x2−2x+2)\log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2 \right)} = - \log{\left(x^{2} - 2 x + 2 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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