Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ctg3t

Gráfico de la función y = ctg3t

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(t) = cot(3*t)
f(t)=cot⁡(3t)f{\left(t \right)} = \cot{\left(3 t \right)} 
f = cot(3*t)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(3t)=0\cot{\left(3 t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
t1=π6t_{1} = \frac{\pi}{6}
Solución numérica
t1=−29.845130209103t_{1} = -29.845130209103
t2=69.6386371545737t_{2} = 69.6386371545737
t3=25.6563400043166t_{3} = 25.6563400043166
t4=22.5147473507269t_{4} = 22.5147473507269
t5=−25.6563400043166t_{5} = -25.6563400043166
t6=−60.2138591938044t_{6} = -60.2138591938044
t7=29.845130209103t_{7} = 29.845130209103
t8=84.2994028713261t_{8} = 84.2994028713261
t9=60.2138591938044t_{9} = 60.2138591938044
t10=95.8185759344887t_{10} = 95.8185759344887
t11=31.9395253114962t_{11} = 31.9395253114962
t12=53.9306738866248t_{12} = 53.9306738866248
t13=18.3259571459405t_{13} = 18.3259571459405
t14=44.5058959258554t_{14} = 44.5058959258554
t15=−91.6297857297023t_{15} = -91.6297857297023
t16=5.75958653158129t_{16} = 5.75958653158129
t17=9.94837673636768t_{17} = 9.94837673636768
t18=49.7418836818384t_{18} = 49.7418836818384
t19=−49.7418836818384t_{19} = -49.7418836818384
t20=−14.1371669411541t_{20} = -14.1371669411541
t21=2.61799387799149t_{21} = 2.61799387799149
t22=−65.4498469497874t_{22} = -65.4498469497874
t23=42.4115008234622t_{23} = 42.4115008234622
t24=27.7507351067098t_{24} = 27.7507351067098
t25=−85.3466004225227t_{25} = -85.3466004225227
t26=−31.9395253114962t_{26} = -31.9395253114962
t27=−97.9129710368819t_{27} = -97.9129710368819
t28=−18.3259571459405t_{28} = -18.3259571459405
t29=−43.4586983746588t_{29} = -43.4586983746588
t30=−82.2050077689329t_{30} = -82.2050077689329
t31=93.7241808320955t_{31} = 93.7241808320955
t32=−19.3731546971371t_{32} = -19.3731546971371
t33=88.4881930761125t_{33} = 88.4881930761125
t34=−62.3082542961976t_{34} = -62.3082542961976
t35=−80.1106126665397t_{35} = -80.1106126665397
t36=66.497044500984t_{36} = 66.497044500984
t37=−78.0162175641465t_{37} = -78.0162175641465
t38=−9.94837673636768t_{38} = -9.94837673636768
t39=16.2315620435473t_{39} = 16.2315620435473
t40=46.6002910282486t_{40} = 46.6002910282486
t41=−5.75958653158129t_{41} = -5.75958653158129
t42=−100.007366139275t_{42} = -100.007366139275
t43=20.4203522483337t_{43} = 20.4203522483337
t44=−87.4409955249159t_{44} = -87.4409955249159
t45=−93.7241808320955t_{45} = -93.7241808320955
t46=−40.317105721069t_{46} = -40.317105721069
t47=−73.8274273593601t_{47} = -73.8274273593601
t48=78.0162175641465t_{48} = 78.0162175641465
t49=−21.4675497995303t_{49} = -21.4675497995303
t50=−67.5442420521806t_{50} = -67.5442420521806
t51=−36.1283155162826t_{51} = -36.1283155162826
t52=100.007366139275t_{52} = 100.007366139275
t53=82.2050077689329t_{53} = 82.2050077689329
t54=−75.9218224617533t_{54} = -75.9218224617533
t55=−53.9306738866248t_{55} = -53.9306738866248
t56=−27.7507351067098t_{56} = -27.7507351067098
t57=36.1283155162826t_{57} = 36.1283155162826
t58=3.66519142918809t_{58} = 3.66519142918809
t59=−16.2315620435473t_{59} = -16.2315620435473
t60=−56.025068989018t_{60} = -56.025068989018
t61=−84.2994028713261t_{61} = -84.2994028713261
t62=−89.5353906273091t_{62} = -89.5353906273091
t63=68.5914396033772t_{63} = 68.5914396033772
t64=24.60914245312t_{64} = 24.60914245312
t65=7.85398163397448t_{65} = 7.85398163397448
t66=47.6474885794452t_{66} = 47.6474885794452
t67=−34.0339204138894t_{67} = -34.0339204138894
t68=14.1371669411541t_{68} = 14.1371669411541
t69=86.3937979737193t_{69} = 86.3937979737193
t70=75.9218224617533t_{70} = 75.9218224617533
t71=97.9129710368819t_{71} = 97.9129710368819
t72=12.0427718387609t_{72} = 12.0427718387609
t73=51.8362787842316t_{73} = 51.8362787842316
t74=−63.3554518473942t_{74} = -63.3554518473942
t75=−51.8362787842316t_{75} = -51.8362787842316
t76=62.3082542961976t_{76} = 62.3082542961976
t77=−1.5707963267949t_{77} = -1.5707963267949
t78=−23.5619449019235t_{78} = -23.5619449019235
t79=71.733032256967t_{79} = 71.733032256967
t80=64.4026493985908t_{80} = 64.4026493985908
t81=−12.0427718387609t_{81} = -12.0427718387609
t82=−95.8185759344887t_{82} = -95.8185759344887
t83=90.5825881785057t_{83} = 90.5825881785057
t84=80.1106126665397t_{84} = 80.1106126665397
t85=73.8274273593601t_{85} = 73.8274273593601
t86=−69.6386371545737t_{86} = -69.6386371545737
t87=−7.85398163397448t_{87} = -7.85398163397448
t88=−71.733032256967t_{88} = -71.733032256967
t89=38.2227106186758t_{89} = 38.2227106186758
t90=92.6769832808989t_{90} = 92.6769832808989
t91=40.317105721069t_{91} = 40.317105721069
t92=−41.3643032722656t_{92} = -41.3643032722656
t93=56.025068989018t_{93} = 56.025068989018
t94=−47.6474885794452t_{94} = -47.6474885794452
t95=−3.66519142918809t_{95} = -3.66519142918809
t96=−45.553093477052t_{96} = -45.553093477052
t97=34.0339204138894t_{97} = 34.0339204138894
t98=−58.1194640914112t_{98} = -58.1194640914112
t99=58.1194640914112t_{99} = 58.1194640914112
t100=−38.2227106186758t_{100} = -38.2227106186758
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en cot(3*t).
cot⁡(0⋅3)\cot{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
−3cot⁡2(3t)−3=0- 3 \cot^{2}{\left(3 t \right)} - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
18(cot⁡2(3t)+1)cot⁡(3t)=018 \left(\cot^{2}{\left(3 t \right)} + 1\right) \cot{\left(3 t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=π6t_{1} = \frac{\pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π6]\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right]
Convexa en los intervalos
[π6,∞)\left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞cot⁡(3t)=−cot⁡(∞)\lim_{t \to -\infty} \cot{\left(3 t \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−cot⁡(∞)y = - \cot{\left(\infty \right)}
lim⁡t→∞cot⁡(3t)=cot⁡(∞)\lim_{t \to \infty} \cot{\left(3 t \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(3*t), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=tlim⁡t→−∞(cot⁡(3t)t)y = t \lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(3 t \right)}}{t}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=tlim⁡t→∞(cot⁡(3t)t)y = t \lim_{t \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(3 t \right)}}{t}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
cot⁡(3t)=−cot⁡(3t)\cot{\left(3 t \right)} = - \cot{\left(3 t \right)}
- No
cot⁡(3t)=cot⁡(3t)\cot{\left(3 t \right)} = \cot{\left(3 t \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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