Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(-0.25x^2-2x-3)

Gráfico de la función y = abs(-0.25x^2-2x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |   2          |
       |  x           |
f(x) = |- -- - 2*x - 3|
       |  4           |
$$f{\left(x \right)} = \left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right|$$ 
f = |-x^2/4 - 2*x - 3|
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -6$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |-x^2/4 - 2*x - 3|.
$$\left|{-3 + \left(- \frac{0^{2}}{4} - 0\right)}\right|$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- \frac{x}{2} - 2\right) \operatorname{sign}{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 3 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4$$
Signos de extremos en los puntos:
(-4, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -4$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -4\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-4, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(x + 4\right)^{2} \delta\left(\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 3\right) + \operatorname{sign}{\left(\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 3 \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |-x^2/4 - 2*x - 3|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right|}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| = \left|{\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3}\right|$$
- No
$$\left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| = - \left|{\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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