Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(-0.25x^2-2x-3)

Gráfico de la función y = abs(-0.25x^2-2x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |   2          |
       |  x           |
f(x) = |- -- - 2*x - 3|
       |  4           |
f(x)=∣(−x24−2x)−3∣f{\left(x \right)} = \left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| 
f = |-x^2/4 - 2*x - 3|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣(−x24−2x)−3∣=0\left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−6x_{1} = -6
x2=−2x_{2} = -2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=−6x_{2} = -6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |-x^2/4 - 2*x - 3|.
∣−3+(−024−0)∣\left|{-3 + \left(- \frac{0^{2}}{4} - 0\right)}\right|
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−x2−2)sign⁡(−x24−2x−3)=0\left(- \frac{x}{2} - 2\right) \operatorname{sign}{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−4x_{1} = -4
Signos de extremos en los puntos:
(-4, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−4x_{1} = -4
Decrece en los intervalos
(−∞,−4]\left(-\infty, -4\right]
Crece en los intervalos
[−4,∞)\left[-4, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+4)2δ(x24+2x+3)+sign⁡(x24+2x+3)2=0\frac{\left(x + 4\right)^{2} \delta\left(\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 3\right) + \operatorname{sign}{\left(\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 3 \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣(−x24−2x)−3∣=∞\lim_{x \to -\infty} \left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞∣(−x24−2x)−3∣=∞\lim_{x \to \infty} \left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |-x^2/4 - 2*x - 3|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣(−x24−2x)−3∣x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right|}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(∣(−x24−2x)−3∣x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣(−x24−2x)−3∣=∣x24−2x+3∣\left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| = \left|{\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3}\right|
- No
∣(−x24−2x)−3∣=−∣x24−2x+3∣\left|{\left(- \frac{x^{2}}{4} - 2 x\right) - 3}\right| = - \left|{\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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