Gráfico de la función y = abs(x)/abs(abs(x)+1)

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          |x|   
f(x) = ---------
       ||x| + 1|

$$f{\left(x \right)} = \frac{\left|{x}\right|}{\left|{\left|{x}\right| + 1}\right|}$$

f = |x|/Abs(|x| + 1)

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left|{x}\right|}{\left|{\left|{x}\right| + 1}\right|} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x|/Abs(|x| + 1).
$$\frac{\left|{0}\right|}{\left|{\left|{0}\right| + 1}\right|}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{\left|{x}\right| + 1}\right|} - \frac{\left|{x}\right| \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left(\left|{x}\right| + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\delta\left(x\right) - \frac{\left(\delta\left(x\right) - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| + 1}\right) \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| + 1} - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| + 1}\right)}{\left|{x}\right| + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{\left|{\left|{x}\right| + 1}\right|}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{\left|{\left|{x}\right| + 1}\right|}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x|/Abs(|x| + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x \left|{\left|{x}\right| + 1}\right|}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x \left|{\left|{x}\right| + 1}\right|}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left|{x}\right|}{\left|{\left|{x}\right| + 1}\right|} = \frac{\left|{x}\right|}{\left|{\left|{x}\right| + 1}\right|}$$
- Sí
$$\frac{\left|{x}\right|}{\left|{\left|{x}\right| + 1}\right|} = - \frac{\left|{x}\right|}{\left|{\left|{x}\right| + 1}\right|}$$
- No
es decir, función
es
par

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = abs(x)/abs(abs(x)+1)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución