Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(cos(x)*sin(2*x))

Gráfico de la función y = abs(cos(x)*sin(2*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = |cos(x)*sin(2*x)|
f(x)=∣sin⁡(2x)cos⁡(x)∣f{\left(x \right)} = \left|{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right| 
f = Abs(sin(2*x)*cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣sin⁡(2x)cos⁡(x)∣=0\left|{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=65.9734457253857x_{1} = 65.9734457253857
x2=7.85398151962477x_{2} = 7.85398151962477
x3=67.5442422018325x_{3} = 67.5442422018325
x4=−36.128315423197x_{4} = -36.128315423197
x5=−95.818575595671x_{5} = -95.818575595671
x6=−61.261056881309x_{6} = -61.261056881309
x7=−29.8451300981866x_{7} = -29.8451300981866
x8=48.6946859820148x_{8} = 48.6946859820148
x9=−59.6902604182061x_{9} = -59.6902604182061
x10=36.1283155526489x_{10} = 36.1283155526489
x11=−21.9911485751286x_{11} = -21.9911485751286
x12=−102.101761529878x_{12} = -102.101761529878
x13=21.9911485751286x_{13} = 21.9911485751286
x14=−86.3937978155375x_{14} = -86.3937978155375
x15=−51.8362786906154x_{15} = -51.8362786906154
x16=−42.4115006663339x_{16} = -42.4115006663339
x17=−1.57079642505341x_{17} = -1.57079642505341
x18=51.8362788934209x_{18} = 51.8362788934209
x19=95.8185760508519x_{19} = 95.8185760508519
x20=23.5619450555027x_{20} = 23.5619450555027
x21=14.1371670924752x_{21} = 14.1371670924752
x22=−25.1327412287183x_{22} = -25.1327412287183
x23=−58.1194640027517x_{23} = -58.1194640027517
x24=−26.7035373477012x_{24} = -26.7035373477012
x25=−83.2522054524035x_{25} = -83.2522054524035
x26=−92.6769826606235x_{26} = -92.6769826606235
x27=−15.707963267949x_{27} = -15.707963267949
x28=−73.8274272804402x_{28} = -73.8274272804402
x29=−7.85398168893896x_{29} = -7.85398168893896
x30=−95.8185758682892x_{30} = -95.8185758682892
x31=−80.1106125824842x_{31} = -80.1106125824842
x32=−45.5530935824522x_{32} = -45.5530935824522
x33=−81.6814089933346x_{33} = -81.6814089933346
x34=20.4203521537986x_{34} = 20.4203521537986
x35=−64.4026492408158x_{35} = -64.4026492408158
x36=92.6769831301454x_{36} = 92.6769831301454
x37=−65.9734457253857x_{37} = -65.9734457253857
x38=4.71238883532779x_{38} = 4.71238883532779
x39=0x_{39} = 0
x40=−17.278759737384x_{40} = -17.278759737384
x41=73.8274274722061x_{41} = 73.8274274722061
x42=−23.561945003804x_{42} = -23.561945003804
x43=45.5530936288414x_{43} = 45.5530936288414
x44=89.5353907744432x_{44} = 89.5353907744432
x45=−92.6769836764771x_{45} = -92.6769836764771
x46=80.1106131546315x_{46} = 80.1106131546315
x47=6.28318530717959x_{47} = 6.28318530717959
x48=−67.5442421609972x_{48} = -67.5442421609972
x49=87.9645943005142x_{49} = 87.9645943005142
x50=26.7035374084741x_{50} = 26.7035374084741
x51=86.3937978909611x_{51} = 86.3937978909611
x52=29.8451303144929x_{52} = 29.8451303144929
x53=72.2566310325652x_{53} = 72.2566310325652
x54=7.85398173541774x_{54} = 7.85398173541774
x55=43.9822971502571x_{55} = 43.9822971502571
x56=−89.5353907394375x_{56} = -89.5353907394375
x57=−86.3937986622393x_{57} = -86.3937986622393
x58=−70.6858349962623x_{58} = -70.6858349962623
x59=−20.4203520921076x_{59} = -20.4203520921076
x60=1.57079648184495x_{60} = 1.57079648184495
x61=−7.85398150264842x_{61} = -7.85398150264842
x62=−39.2699083096144x_{62} = -39.2699083096144
x63=−87.9645943005142x_{63} = -87.9645943005142
x64=70.6858345559153x_{64} = 70.6858345559153
x65=50.2654824574367x_{65} = 50.2654824574367
x66=−37.6991118430775x_{66} = -37.6991118430775
x67=−43.9822971502571x_{67} = -43.9822971502571
x68=42.4115007327518x_{68} = 42.4115007327518
x69=28.2743338823081x_{69} = 28.2743338823081
x70=94.2477796076938x_{70} = 94.2477796076938
x71=64.4026493118058x_{71} = 64.4026493118058
x72=−14.13716684381x_{72} = -14.13716684381
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(cos(x)*sin(2*x)).
∣sin⁡(0⋅2)cos⁡(0)∣\left|{\sin{\left(0 \cdot 2 \right)} \cos{\left(0 \right)}}\right|
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(sin⁡(x)sin⁡(2x)−2cos⁡(x)cos⁡(2x))2δ(sin⁡(2x)cos⁡(x))−(4sin⁡(x)cos⁡(2x)+5sin⁡(2x)cos⁡(x))sign⁡(sin⁡(2x)cos⁡(x))=02 \left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2} \delta\left(\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \left(4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 5 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣sin⁡(2x)cos⁡(x)∣=∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to -\infty} \left|{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right| = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∣⟨−1,1⟩∣y = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
lim⁡x→∞∣sin⁡(2x)cos⁡(x)∣=∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to \infty} \left|{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right| = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∣⟨−1,1⟩∣y = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(cos(x)*sin(2*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣sin⁡(2x)cos⁡(x)∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣sin⁡(2x)cos⁡(x)∣x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣sin⁡(2x)cos⁡(x)∣=∣sin⁡(2x)cos⁡(x)∣\left|{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right| = \left|{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right|
- Sí
∣sin⁡(2x)cos⁡(x)∣=−∣sin⁡(2x)cos⁡(x)∣\left|{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right| = - \left|{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right|
- No
es decir, función
es
par
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