Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(x)/x

Gráfico de la función y = abs(x)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |x|
f(x) = ---
        x
f(x)=∣x∣xf{\left(x \right)} = \frac{\left|{x}\right|}{x} 
f = |x|/x
Gráfico de la función
-0.10-0.08-0.06-0.04-0.020.100.000.020.040.060.082-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣x∣x=0\frac{\left|{x}\right|}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x|/x.
∣0∣0\frac{\left|{0}\right|}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sign⁡(x)x−∣x∣x2=0\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} - \frac{\left|{x}\right|}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−42x_{1} = -42
x2=82x_{2} = 82
x3=−66x_{3} = -66
x4=76x_{4} = 76
x5=4x_{5} = 4
x6=−30x_{6} = -30
x7=16x_{7} = 16
x8=−22x_{8} = -22
x9=−76x_{9} = -76
x10=88x_{10} = 88
x11=62x_{11} = 62
x12=8x_{12} = 8
x13=66x_{13} = 66
x14=92x_{14} = 92
x15=−62x_{15} = -62
x16=94x_{16} = 94
x17=26x_{17} = 26
x18=46x_{18} = 46
x19=22x_{19} = 22
x20=−78x_{20} = -78
x21=−48x_{21} = -48
x22=100x_{22} = 100
x23=−60x_{23} = -60
x24=−90x_{24} = -90
x25=−6x_{25} = -6
x26=12x_{26} = 12
x27=32x_{27} = 32
x28=30x_{28} = 30
x29=−34x_{29} = -34
x30=−20x_{30} = -20
x31=−52x_{31} = -52
x32=−96x_{32} = -96
x33=−64x_{33} = -64
x34=68x_{34} = 68
x35=72x_{35} = 72
x36=50x_{36} = 50
x37=−82x_{37} = -82
x38=−72x_{38} = -72
x39=−24x_{39} = -24
x40=52x_{40} = 52
x41=−10x_{41} = -10
x42=−8x_{42} = -8
x43=10x_{43} = 10
x44=84x_{44} = 84
x45=−28x_{45} = -28
x46=−84x_{46} = -84
x47=24x_{47} = 24
x48=64x_{48} = 64
x49=36x_{49} = 36
x50=−88x_{50} = -88
x51=−2x_{51} = -2
x52=14x_{52} = 14
x53=−38x_{53} = -38
x54=60x_{54} = 60
x55=56x_{55} = 56
x56=−86x_{56} = -86
x57=40x_{57} = 40
x58=−46x_{58} = -46
x59=−74x_{59} = -74
x60=−26x_{60} = -26
x61=−32x_{61} = -32
x62=58x_{62} = 58
x63=70x_{63} = 70
x64=−70x_{64} = -70
x65=18x_{65} = 18
x66=−68x_{66} = -68
x67=−14x_{67} = -14
x68=44x_{68} = 44
x69=6x_{69} = 6
x70=−54x_{70} = -54
x71=−58x_{71} = -58
x72=90x_{72} = 90
x73=98x_{73} = 98
x74=−92x_{74} = -92
x75=−94x_{75} = -94
x76=80x_{76} = 80
x77=86x_{77} = 86
x78=−44x_{78} = -44
x79=−18x_{79} = -18
x80=48x_{80} = 48
x81=96x_{81} = 96
x82=−80x_{82} = -80
x83=−16x_{83} = -16
x84=20x_{84} = 20
x85=−12x_{85} = -12
x86=−56x_{86} = -56
x87=34x_{87} = 34
x88=−40x_{88} = -40
x89=−50x_{89} = -50
x90=28x_{90} = 28
x91=2x_{91} = 2
x92=−36x_{92} = -36
x93=74x_{93} = 74
x94=42x_{94} = 42
x95=−98x_{95} = -98
x96=54x_{96} = 54
x97=−4x_{97} = -4
x98=−100x_{98} = -100
x99=78x_{99} = 78
x100=38x_{100} = 38
Signos de extremos en los puntos:
(-42, -1)

(82, 1)

(-66, -1)

(76, 1)

(4, 1)

(-30, -1)

(16, 1)

(-22, -1)

(-76, -1)

(88, 1)

(62, 1)

(8, 1)

(66, 1)

(92, 1)

(-62, -1)

(94, 1)

(26, 1)

(46, 1)

(22, 1)

(-78, -1)

(-48, -1)

(100, 1)

(-60, -1)

(-90, -1)

(-6, -1)

(12, 1)

(32, 1)

(30, 1)

(-34, -1)

(-20, -1)

(-52, -1)

(-96, -1)

(-64, -1)

(68, 1)

(72, 1)

(50, 1)

(-82, -1)

(-72, -1)

(-24, -1)

(52, 1)

(-10, -1)

(-8, -1)

(10, 1)

(84, 1)

(-28, -1)

(-84, -1)

(24, 1)

(64, 1)

(36, 1)

(-88, -1)

(-2, -1)

(14, 1)

(-38, -1)

(60, 1)

(56, 1)

(-86, -1)

(40, 1)

(-46, -1)

(-74, -1)

(-26, -1)

(-32, -1)

(58, 1)

(70, 1)

(-70, -1)

(18, 1)

(-68, -1)

(-14, -1)

(44, 1)

(6, 1)

(-54, -1)

(-58, -1)

(90, 1)

(98, 1)

(-92, -1)

(-94, -1)

(80, 1)

(86, 1)

(-44, -1)

(-18, -1)

(48, 1)

(96, 1)

(-80, -1)

(-16, -1)

(20, 1)

(-12, -1)

(-56, -1)

(34, 1)

(-40, -1)

(-50, -1)

(28, 1)

(2, 1)

(-36, -1)

(74, 1)

(42, 1)

(-98, -1)

(54, 1)

(-4, -1)

(-100, -1)

(78, 1)

(38, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−30x_{1} = -30
Puntos máximos de la función:
x1=30x_{1} = 30
Decrece en los intervalos
[−30,30]\left[-30, 30\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−30]∪[30,∞)\left(-\infty, -30\right] \cup \left[30, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(δ(x)−sign⁡(x)x+∣x∣x2)x=0\frac{2 \left(\delta\left(x\right) - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} + \frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(∣x∣x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(∣x∣x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x|/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x∣x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣x∣x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣x∣x=−∣x∣x\frac{\left|{x}\right|}{x} = - \frac{\left|{x}\right|}{x}
- No
∣x∣x=∣x∣x\frac{\left|{x}\right|}{x} = \frac{\left|{x}\right|}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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