Sr Examen

Otras calculadoras

(x^2+1)/(x^2-1)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • (x^2+1)/(x^2-1) (x^2+1)/(x^2-1)
  • 4-x 4-x
  • x+5 x+5
  • 4-x^2 4-x^2
  • Derivada de:
  • (x^2+1)/(x^2-1) (x^2+1)/(x^2-1)
  • Integral de d{x}:
  • (x^2+1)/(x^2-1)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos + uno)/(x^ dos - uno)
  • (x al cuadrado más 1) dividir por (x al cuadrado menos 1)
  • (x en el grado dos más uno) dividir por (x en el grado dos menos uno)
  • (x2+1)/(x2-1)
  • x2+1/x2-1
  • (x²+1)/(x²-1)
  • (x en el grado 2+1)/(x en el grado 2-1)
  • x^2+1/x^2-1
  • (x^2+1) dividir por (x^2-1)

  • Expresiones semejantes

  • (x^2-1)/(x^2-1)
  • (x^2+1)/(x^2+1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+1)/(x^2-1)

Gráfico de la función y = (x^2+1)/(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  + 1
f(x) = ------
        2    
       x  - 1
f(x)=x2+1x2−1f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} 
f = (x^2 + 1)/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+1x2−1=0\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 1)/(x^2 - 1).
02+1−1+02\frac{0^{2} + 1}{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx2−1−2x(x2+1)(x2−1)2=0\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4x2x2−1+1+(x2+1)(4x2x2−1−1)x2−1)x2−1=0\frac{2 \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+1x2−1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x2+1x2−1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 1)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+1x(x2−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x2+1x(x2−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+1x2−1=x2+1x2−1\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}
- Sí
x2+1x2−1=−x2+1x2−1\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} = - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2+1)/(x^2-1)
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