Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(-2*x^2+2x)

Gráfico de la función y = sqrt(-2*x^2+2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ______________
         /      2       
f(x) = \/  - 2*x  + 2*x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{- 2 x^{2} + 2 x}$$ 
f = sqrt(-2*x^2 + 2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{- 2 x^{2} + 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(-2*x^2 + 2*x).
$$\sqrt{- 2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1 - 2 x}{\sqrt{- 2 x^{2} + 2 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
        ___ 
      \/ 2  
(1/2, -----)
        2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{4 x \left(1 - x\right)}\right)}{\sqrt{x \left(1 - x\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- 2 x^{2} + 2 x} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{- 2 x^{2} + 2 x} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(-2*x^2 + 2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- 2 x^{2} + 2 x}}{x}\right) = - \sqrt{2} i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \sqrt{2} i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- 2 x^{2} + 2 x}}{x}\right) = \sqrt{2} i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \sqrt{2} i x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{- 2 x^{2} + 2 x} = \sqrt{- 2 x^{2} - 2 x}$$
- No
$$\sqrt{- 2 x^{2} + 2 x} = - \sqrt{- 2 x^{2} - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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