Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(1+abs(2-x))/(1+abs(x))

Gráfico de la función y = sqrt(1+abs(2-x))/(1+abs(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _____________
       \/ 1 + |2 - x| 
f(x) = ---------------
           1 + |x|
f(x)=∣2−x∣+1∣x∣+1f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{\left|{2 - x}\right| + 1}}{\left|{x}\right| + 1} 
f = sqrt(|2 - x| + 1)/(|x| + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣2−x∣+1∣x∣+1=0\frac{\sqrt{\left|{2 - x}\right| + 1}}{\left|{x}\right| + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(1 + |2 - x|)/(1 + |x|).
1+∣2−0∣∣0∣+1\frac{\sqrt{1 + \left|{2 - 0}\right|}}{\left|{0}\right| + 1}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}
Punto:
(0, sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sign⁡(2−x)2(∣x∣+1)∣2−x∣+1−∣2−x∣+1sign⁡(x)(∣x∣+1)2=0- \frac{\operatorname{sign}{\left(2 - x \right)}}{2 \left(\left|{x}\right| + 1\right) \sqrt{\left|{2 - x}\right| + 1}} - \frac{\sqrt{\left|{2 - x}\right| + 1} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left(\left|{x}\right| + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(3, 0.353553390593274)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Decrece en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Crece en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4δ(x−2)−sign⁡2(x−2)∣x−2∣+14∣x−2∣+1−2∣x−2∣+1(δ(x)−sign⁡2(x)∣x∣+1)∣x∣+1−sign⁡(x)sign⁡(x−2)(∣x∣+1)∣x−2∣+1∣x∣+1=0\frac{\frac{4 \delta\left(x - 2\right) - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x - 2 \right)}}{\left|{x - 2}\right| + 1}}{4 \sqrt{\left|{x - 2}\right| + 1}} - \frac{2 \sqrt{\left|{x - 2}\right| + 1} \left(\delta\left(x\right) - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| + 1}\right)}{\left|{x}\right| + 1} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\left(\left|{x}\right| + 1\right) \sqrt{\left|{x - 2}\right| + 1}}}{\left|{x}\right| + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(∣2−x∣+1∣x∣+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left|{2 - x}\right| + 1}}{\left|{x}\right| + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(∣2−x∣+1∣x∣+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left|{2 - x}\right| + 1}}{\left|{x}\right| + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(1 + |2 - x|)/(1 + |x|), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣2−x∣+1x(∣x∣+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left|{2 - x}\right| + 1}}{x \left(\left|{x}\right| + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣2−x∣+1x(∣x∣+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left|{2 - x}\right| + 1}}{x \left(\left|{x}\right| + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣2−x∣+1∣x∣+1=∣x+2∣+1∣x∣+1\frac{\sqrt{\left|{2 - x}\right| + 1}}{\left|{x}\right| + 1} = \frac{\sqrt{\left|{x + 2}\right| + 1}}{\left|{x}\right| + 1}
- No
∣2−x∣+1∣x∣+1=−∣x+2∣+1∣x∣+1\frac{\sqrt{\left|{2 - x}\right| + 1}}{\left|{x}\right| + 1} = - \frac{\sqrt{\left|{x + 2}\right| + 1}}{\left|{x}\right| + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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