Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(2^(x+3)-1)

Gráfico de la función y = abs(2^(x+3)-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       | x + 3    |
f(x) = |2      - 1|
f(x)=∣2x+3−1∣f{\left(x \right)} = \left|{2^{x + 3} - 1}\right| 
f = Abs(2^(x + 3) - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣2x+3−1∣=0\left|{2^{x + 3} - 1}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(2^(x + 3) - 1).
∣−1+23∣\left|{-1 + 2^{3}}\right|
Resultado:
f(0)=7f{\left(0 \right)} = 7
Punto:
(0, 7)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+3log⁡(2)sign⁡(2x+3−1)=02^{x + 3} \log{\left(2 \right)} \operatorname{sign}{\left(2^{x + 3} - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−90.176760093132x_{1} = -90.176760093132
x2=−128.176760093132x_{2} = -128.176760093132
x3=−130.176760093132x_{3} = -130.176760093132
x4=−52.176760093132x_{4} = -52.176760093132
x5=−62.176760093132x_{5} = -62.176760093132
x6=−80.176760093132x_{6} = -80.176760093132
x7=−114.176760093132x_{7} = -114.176760093132
x8=−64.176760093132x_{8} = -64.176760093132
x9=−108.176760093132x_{9} = -108.176760093132
x10=−100.176760093132x_{10} = -100.176760093132
x11=−118.176760093132x_{11} = -118.176760093132
x12=−112.176760093132x_{12} = -112.176760093132
x13=−78.176760093132x_{13} = -78.176760093132
x14=−76.176760093132x_{14} = -76.176760093132
x15=−60.176760093132x_{15} = -60.176760093132
x16=−92.176760093132x_{16} = -92.176760093132
x17=−56.176760093132x_{17} = -56.176760093132
x18=−98.176760093132x_{18} = -98.176760093132
x19=−110.176760093132x_{19} = -110.176760093132
x20=−48.176760093132x_{20} = -48.176760093132
x21=−124.176760093132x_{21} = -124.176760093132
x22=−50.176760093132x_{22} = -50.176760093132
x23=−70.176760093132x_{23} = -70.176760093132
x24=−116.176760093132x_{24} = -116.176760093132
x25=−46.176760093132x_{25} = -46.176760093132
x26=−82.176760093132x_{26} = -82.176760093132
x27=−72.176760093132x_{27} = -72.176760093132
x28=−126.176760093132x_{28} = -126.176760093132
x29=−88.176760093132x_{29} = -88.176760093132
x30=−84.176760093132x_{30} = -84.176760093132
x31=−104.176760093132x_{31} = -104.176760093132
x32=−94.176760093132x_{32} = -94.176760093132
x33=−96.176760093132x_{33} = -96.176760093132
x34=−122.176760093132x_{34} = -122.176760093132
x35=−74.176760093132x_{35} = -74.176760093132
x36=−44.176760093132x_{36} = -44.176760093132
x37=−54.176760093132x_{37} = -54.176760093132
x38=−42.176760093132x_{38} = -42.176760093132
x39=−86.176760093132x_{39} = -86.176760093132
x40=−58.176760093132x_{40} = -58.176760093132
x41=−106.176760093132x_{41} = -106.176760093132
x42=−66.176760093132x_{42} = -66.176760093132
x43=−68.176760093132x_{43} = -68.176760093132
x44=−120.176760093132x_{44} = -120.176760093132
x45=−102.176760093132x_{45} = -102.176760093132
Signos de extremos en los puntos:
(-90.17676009313203, 1)

(-128.17676009313203, 1)

(-130.17676009313203, 1)

(-52.176760093132025, 0.999999999999998)

(-62.176760093132025, 1)

(-80.17676009313203, 1)

(-114.17676009313203, 1)

(-64.17676009313203, 1)

(-108.17676009313203, 1)

(-100.17676009313203, 1)

(-118.17676009313203, 1)

(-112.17676009313203, 1)

(-78.17676009313203, 1)

(-76.17676009313203, 1)

(-60.176760093132025, 1)

(-92.17676009313203, 1)

(-56.176760093132025, 1)

(-98.17676009313203, 1)

(-110.17676009313203, 1)

(-48.176760093132025, 0.999999999999975)

(-124.17676009313203, 1)

(-50.176760093132025, 0.999999999999994)

(-70.17676009313203, 1)

(-116.17676009313203, 1)

(-46.176760093132025, 0.999999999999899)

(-82.17676009313203, 1)

(-72.17676009313203, 1)

(-126.17676009313203, 1)

(-88.17676009313203, 1)

(-84.17676009313203, 1)

(-104.17676009313203, 1)

(-94.17676009313203, 1)

(-96.17676009313203, 1)

(-122.17676009313203, 1)

(-74.17676009313203, 1)

(-44.176760093132025, 0.999999999999598)

(-54.176760093132025, 1)

(-42.176760093132025, 0.999999999998391)

(-86.17676009313203, 1)

(-58.176760093132025, 1)

(-106.17676009313203, 1)

(-66.17676009313203, 1)

(-68.17676009313203, 1)

(-120.17676009313203, 1)

(-102.17676009313203, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8⋅2x(16⋅2xδ(8⋅2x−1)+sign⁡(8⋅2x−1))log⁡(2)2=08 \cdot 2^{x} \left(16 \cdot 2^{x} \delta\left(8 \cdot 2^{x} - 1\right) + \operatorname{sign}{\left(8 \cdot 2^{x} - 1 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣2x+3−1∣=1\lim_{x \to -\infty} \left|{2^{x + 3} - 1}\right| = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞∣2x+3−1∣=∞\lim_{x \to \infty} \left|{2^{x + 3} - 1}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(2^(x + 3) - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣2x+3−1∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{2^{x + 3} - 1}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣2x+3−1∣x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{2^{x + 3} - 1}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣2x+3−1∣=∣23−x−1∣\left|{2^{x + 3} - 1}\right| = \left|{2^{3 - x} - 1}\right|
- No
∣2x+3−1∣=−∣23−x−1∣\left|{2^{x + 3} - 1}\right| = - \left|{2^{3 - x} - 1}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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