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Trazado el gráfico de la función/ abs(|x-3|-3)

Gráfico de la función y = abs(|x-3|-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = ||x - 3| - 3|
f(x)=∣∣x−3∣−3∣f{\left(x \right)} = \left|{\left|{x - 3}\right| - 3}\right| 
f = Abs(|x - 3| - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣∣x−3∣−3∣=0\left|{\left|{x - 3}\right| - 3}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(|x - 3| - 3).
∣−3+∣−3∣∣\left|{-3 + \left|{-3}\right|}\right|
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sign⁡(x−3)sign⁡(∣x−3∣−3)=0\operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)} \operatorname{sign}{\left(\left|{x - 3}\right| - 3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(6, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[6,∞)\left[6, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(δ(x−3)sign⁡(∣x−3∣−3)+δ(∣x−3∣−3)sign⁡2(x−3))=02 \left(\delta\left(x - 3\right) \operatorname{sign}{\left(\left|{x - 3}\right| - 3 \right)} + \delta\left(\left|{x - 3}\right| - 3\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x - 3 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣∣x−3∣−3∣=∞\lim_{x \to -\infty} \left|{\left|{x - 3}\right| - 3}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞∣∣x−3∣−3∣=∞\lim_{x \to \infty} \left|{\left|{x - 3}\right| - 3}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(|x - 3| - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣∣x−3∣−3∣x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left|{x - 3}\right| - 3}\right|}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(∣∣x−3∣−3∣x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left|{x - 3}\right| - 3}\right|}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣∣x−3∣−3∣=∣∣x+3∣−3∣\left|{\left|{x - 3}\right| - 3}\right| = \left|{\left|{x + 3}\right| - 3}\right|
- No
∣∣x−3∣−3∣=−∣∣x+3∣−3∣\left|{\left|{x - 3}\right| - 3}\right| = - \left|{\left|{x + 3}\right| - 3}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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