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y=sin(1/2x+2pi/3)
Trazado el gráfico de la función/ y=sin(1/2x+2pi/3)

Gráfico de la función y = y=sin(1/2x+2pi/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x   2*pi\
f(x) = sin|- + ----|
          \2    3  /
f(x)=sin⁡(x2+2π3)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{2 \pi}{3} \right)} 
f = sin(x/2 + (2*pi)/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x/2 + (2*pi)/3).
sin⁡(02+2π3)\sin{\left(\frac{0}{2} + \frac{2 \pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x2+2π3)2=0\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{2 \pi}{3} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi       /pi   2*pi\ 
(----, -sin|-- - ----|)
  3        \6     3  / 

 5*pi     /pi   2*pi\ 
(----, cos|-- + ----|)
  3       \3     3  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π3x_{1} = \frac{5 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π3]∪[5π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π3,5π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x2+2π3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{2 \pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x2+2π3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{2 \pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x/2 + (2*pi)/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2+2π3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{2 \pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x2+2π3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{2 \pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x2+2π3)=−sin⁡(x2−2π3)\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{2 \pi}{3} \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{2 \pi}{3} \right)}
- No
sin⁡(x2+2π3)=sin⁡(x2−2π3)\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{2 \pi}{3} \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{2 \pi}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=sin(1/2x+2pi/3)
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