Sr Examen

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x^(2/3)
Trazado el gráfico de la función/ x^(2/3)

Gráfico de la función y = x^(2/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2/3
f(x) = x
f(x)=x23f{\left(x \right)} = x^{\frac{2}{3}} 
f = x^(2/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x23=0x^{\frac{2}{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(2/3).
0230^{\frac{2}{3}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
23x3=0\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−29x43=0- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x23=∞(−1)23\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{2}{3}} = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞(−1)23y = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
lim⁡x→∞x23=∞\lim_{x \to \infty} x^{\frac{2}{3}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(2/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1x3=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1x3=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x23=(−x)23x^{\frac{2}{3}} = \left(- x\right)^{\frac{2}{3}}
- No
x23=−(−x)23x^{\frac{2}{3}} = - \left(- x\right)^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^(2/3)
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