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Trazado el gráfico de la función/ (4-8*x+3*x^2)/(8-14*x+5*x^2)

Gráfico de la función y = (4-8*x+3*x^2)/(8-14*x+5*x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     2
        4 - 8*x + 3*x 
f(x) = ---------------
                     2
       8 - 14*x + 5*x
f(x)=3x2+(4−8x)5x2+(8−14x)f{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2} + \left(4 - 8 x\right)}{5 x^{2} + \left(8 - 14 x\right)} 
f = (3*x^2 + 4 - 8*x)/(5*x^2 + 8 - 14*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.8x_{1} = 0.8
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x2+(4−8x)5x2+(8−14x)=0\frac{3 x^{2} + \left(4 - 8 x\right)}{5 x^{2} + \left(8 - 14 x\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}
Solución numérica
x1=0.666666666666667x_{1} = 0.666666666666667
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (4 - 8*x + 3*x^2)/(8 - 14*x + 5*x^2).
3⋅02+(4−0)5⋅02+(8−0)\frac{3 \cdot 0^{2} + \left(4 - 0\right)}{5 \cdot 0^{2} + \left(8 - 0\right)}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(14−10x)(3x2+(4−8x))(5x2+(8−14x))2+6x−85x2+(8−14x)=0\frac{\left(14 - 10 x\right) \left(3 x^{2} + \left(4 - 8 x\right)\right)}{\left(5 x^{2} + \left(8 - 14 x\right)\right)^{2}} + \frac{6 x - 8}{5 x^{2} + \left(8 - 14 x\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4(3x−4)(5x−7)5x2−14x+8+(4(5x−7)25x2−14x+8−5)(3x2−8x+4)5x2−14x+8+3)5x2−14x+8=0\frac{2 \left(- \frac{4 \left(3 x - 4\right) \left(5 x - 7\right)}{5 x^{2} - 14 x + 8} + \frac{\left(\frac{4 \left(5 x - 7\right)^{2}}{5 x^{2} - 14 x + 8} - 5\right) \left(3 x^{2} - 8 x + 4\right)}{5 x^{2} - 14 x + 8} + 3\right)}{5 x^{2} - 14 x + 8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.8x_{1} = 0.8
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x2+(4−8x)5x2+(8−14x))=35\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(4 - 8 x\right)}{5 x^{2} + \left(8 - 14 x\right)}\right) = \frac{3}{5}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=35y = \frac{3}{5}
lim⁡x→∞(3x2+(4−8x)5x2+(8−14x))=35\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(4 - 8 x\right)}{5 x^{2} + \left(8 - 14 x\right)}\right) = \frac{3}{5}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=35y = \frac{3}{5}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4 - 8*x + 3*x^2)/(8 - 14*x + 5*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x2+(4−8x)x(5x2+(8−14x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(4 - 8 x\right)}{x \left(5 x^{2} + \left(8 - 14 x\right)\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3x2+(4−8x)x(5x2+(8−14x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(4 - 8 x\right)}{x \left(5 x^{2} + \left(8 - 14 x\right)\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x2+(4−8x)5x2+(8−14x)=3x2+8x+45x2+14x+8\frac{3 x^{2} + \left(4 - 8 x\right)}{5 x^{2} + \left(8 - 14 x\right)} = \frac{3 x^{2} + 8 x + 4}{5 x^{2} + 14 x + 8}
- No
3x2+(4−8x)5x2+(8−14x)=−3x2+8x+45x2+14x+8\frac{3 x^{2} + \left(4 - 8 x\right)}{5 x^{2} + \left(8 - 14 x\right)} = - \frac{3 x^{2} + 8 x + 4}{5 x^{2} + 14 x + 8}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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