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y=x+sqrt(2*x+1-x*x)
Trazado el gráfico de la función/ y=x+sqrt(2*x+1-x*x)

Gráfico de la función y = y=x+sqrt(2*x+1-x*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             _______________
f(x) = x + \/ 2*x + 1 - x*x
f(x)=x+−xx+(2x+1)f{\left(x \right)} = x + \sqrt{- x x + \left(2 x + 1\right)} 
f = x + sqrt(-x*x + 2*x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+−xx+(2x+1)=0x + \sqrt{- x x + \left(2 x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12−32x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
Solución numérica
x1=−0.366025403784439x_{1} = -0.366025403784439
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x + sqrt(2*x + 1 - x*x).
−0⋅0+(0⋅2+1)\sqrt{- 0 \cdot 0 + \left(0 \cdot 2 + 1\right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−x−xx+(2x+1)+1=0\frac{1 - x}{\sqrt{- x x + \left(2 x + 1\right)}} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(2, 3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Crece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x−1)2−x2+2x+1+1−x2+2x+1=0- \frac{\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 1} + 1}{\sqrt{- x^{2} + 2 x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+−xx+(2x+1))=∞sign⁡(−1+i)\lim_{x \to -\infty}\left(x + \sqrt{- x x + \left(2 x + 1\right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞sign⁡(−1+i)y = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
lim⁡x→∞(x+−xx+(2x+1))=∞sign⁡(1+i)\lim_{x \to \infty}\left(x + \sqrt{- x x + \left(2 x + 1\right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞sign⁡(1+i)y = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x + sqrt(2*x + 1 - x*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+−xx+(2x+1)x)=1−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \sqrt{- x x + \left(2 x + 1\right)}}{x}\right) = 1 - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x(1−i)y = x \left(1 - i\right)
lim⁡x→∞(x+−xx+(2x+1)x)=1+i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \sqrt{- x x + \left(2 x + 1\right)}}{x}\right) = 1 + i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x(1+i)y = x \left(1 + i\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+−xx+(2x+1)=−x+−x2−2x+1x + \sqrt{- x x + \left(2 x + 1\right)} = - x + \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}
- No
x+−xx+(2x+1)=x−−x2−2x+1x + \sqrt{- x x + \left(2 x + 1\right)} = x - \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x+sqrt(2*x+1-x*x)
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