Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x*exp(-x)
-
x^4-x^3
-
1/(x^2+1)
- Límite de la función:
-
(1+x^4+3*x)/(5+3*x^4)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x^ cuatro + tres *x)/(cinco + tres *x^ cuatro)
- (1 más x en el grado 4 más 3 multiplicar por x) dividir por (5 más 3 multiplicar por x en el grado 4)
- (uno más x en el grado cuatro más tres multiplicar por x) dividir por (cinco más tres multiplicar por x en el grado cuatro)
- (1+x4+3*x)/(5+3*x4)
- 1+x4+3*x/5+3*x4
- (1+x⁴+3*x)/(5+3*x⁴)
- (1+x^4+3x)/(5+3x^4)
- (1+x4+3x)/(5+3x4)
- 1+x4+3x/5+3x4
- 1+x^4+3x/5+3x^4
- (1+x^4+3*x) dividir por (5+3*x^4)
-
Expresiones semejantes
- (1+x^4-3*x)/(5+3*x^4)
- (1+x^4+3*x)/(5-3*x^4)
- (1-x^4+3*x)/(5+3*x^4)
Gráfico de la función y = (1+x^4+3*x)/(5+3*x^4)
Solución
Ha introducido
[src]
4
1 + x + 3*x
f(x) = ------------
4
5 + 3*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5}$$
f = (3*x + x^4 + 1)/(3*x^4 + 5)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + \frac{6}{\sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + \frac{6}{\sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}}}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.337666765642802$$
$$x_{2} = -1.30748610096198$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + \frac{6}{\sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + \frac{6}{\sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5793}}{144} + \frac{9}{16}}}}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.337666765642802$$
$$x_{2} = -1.30748610096198$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{12 x^{3} \left(3 x + \left(x^{4} + 1\right)\right)}{\left(3 x^{4} + 5\right)^{2}} + \frac{4 x^{3} + 3}{3 x^{4} + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27} + \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27}, \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27} + \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27} + \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{12 x^{3} \left(3 x + \left(x^{4} + 1\right)\right)}{\left(3 x^{4} + 5\right)^{2}} + \frac{4 x^{3} + 3}{3 x^{4} + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27}$$
Signos de extremos en los puntos:
4
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/ 32 / 20 5*\/ 10951 10 128 | ______________________________________________________________________ / 729 \/ 6561 6561 ______________________ ______________________________________________________________________ | ______________________________________________________________________ / 729 \/ 6561 6561 ______________________ ______________________________________________________________________
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/ / _______ / / 20 5*\/ 10951 / / _______ | / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ / \/ 6561 6561 19683* / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ | 3* / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ / \/ 6561 6561 19683* / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------
/ 16 / 20 5*\/ 10951 10 / 27*3 / - ---- + ----------- / 16 / 20 5*\/ 10951 10 | / 729 \/ 6561 6561 ______________________ / / 729 \/ 6561 6561 ______________________ | / 729 \/ 6561 6561 ______________________ / / 729 \/ 6561 6561 ______________________
/ --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ / \/ 6561 6561 19683* / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ | / / _______ / / / _______ | / / _______ / / / _______
/ 729 \/ 6561 6561 ______________________ / / 729 \/ 6561 6561 ______________________ | / / 20 5*\/ 10951 / / / 20 5*\/ 10951 | / / 20 5*\/ 10951 / / / 20 5*\/ 10951
/ / _______ / / / _______ | / 27*3 / - ---- + ----------- / / 27*3 / - ---- + ----------- | / 27*3 / - ---- + ----------- / / 27*3 / - ---- + -----------
/ / 20 5*\/ 10951 / / / 20 5*\/ 10951 11 |2 \/ \/ 6561 6561 \/ \/ \/ 6561 6561 | \/ \/ 6561 6561 \/ \/ \/ 6561 6561
/ 27*3 / - ---- + ----------- / / 27*3 / - ---- + ----------- -- + |-- + -------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| + ---------------------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 \/ \/ 6561 6561 \/ \/ \/ 6561 6561 9 \27 2 2 / 2 2
(-- + -------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
27 2 2 4
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|2 \/ \/ 6561 6561 \/ \/ \/ 6561 6561 |
5 + 3*|-- + -------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
\27 2 2 / 4
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/ ______________________ / / _______ / ______________________ | / 16 / 20 5*\/ 10951 10 / 27*3 / - ---- + ----------- / 16 / 20 5*\/ 10951 10 | / 27*3 / - ---- + ----------- / 16 / 20 5*\/ 10951 10 / 16 / 20 5*\/ 10951 10
/ / _______ / / 20 5*\/ 10951 / / _______ | / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ / \/ 6561 6561 19683* / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ | / \/ 6561 6561 19683* / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ 3* / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------
/ 16 / 20 5*\/ 10951 10 / 27*3 / - ---- + ----------- / 16 / 20 5*\/ 10951 10 | / 729 \/ 6561 6561 ______________________ / / 729 \/ 6561 6561 ______________________ | / / 729 \/ 6561 6561 ______________________ / 729 \/ 6561 6561 ______________________
/ --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ / \/ 6561 6561 19683* / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ | / / _______ / / / _______ | / / / _______ / / _______
/ 729 \/ 6561 6561 ______________________ / / 729 \/ 6561 6561 ______________________ | / / 20 5*\/ 10951 / / / 20 5*\/ 10951 | / / / 20 5*\/ 10951 / / 20 5*\/ 10951
/ / _______ / / / _______ | / 27*3 / - ---- + ----------- / / 27*3 / - ---- + ----------- | / / 27*3 / - ---- + ----------- / 27*3 / - ---- + -----------
/ / 20 5*\/ 10951 / / / 20 5*\/ 10951 11 |2 \/ \/ 6561 6561 \/ \/ \/ 6561 6561 | \/ \/ \/ 6561 6561 \/ \/ 6561 6561
/ 27*3 / - ---- + ----------- / / 27*3 / - ---- + ----------- -- + |-- + -------------------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------
2 \/ \/ 6561 6561 \/ \/ \/ 6561 6561 9 \27 2 2 / 2 2
(-- + -------------------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
27 2 2 4
/ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________\
| / ______________________ |
| / / _______ |
| / 32 / 20 5*\/ 10951 10 128 |
| / --- - 2*3 / - ---- + ----------- + ------------------------------ + -------------------------------------------------------------------------------------- |
| ______________________________________________________________________ / 729 \/ 6561 6561 ______________________ ______________________________________________________________________ |
| / ______________________ / / _______ / ______________________ |
| / / _______ / / 20 5*\/ 10951 / / _______ |
| / 16 / 20 5*\/ 10951 10 / 27*3 / - ---- + ----------- / 16 / 20 5*\/ 10951 10 |
| / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ / \/ 6561 6561 19683* / --- + 2*3 / - ---- + ----------- - ------------------------------ |
| / 729 \/ 6561 6561 ______________________ / / 729 \/ 6561 6561 ______________________ |
| / / _______ / / / _______ |
| / / 20 5*\/ 10951 / / / 20 5*\/ 10951 |
| / 27*3 / - ---- + ----------- / / 27*3 / - ---- + ----------- |
|2 \/ \/ 6561 6561 \/ \/ \/ 6561 6561 |
5 + 3*|-- + -------------------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
\27 2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27} + \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27}, \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27} + \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}{2} + \frac{2}{27} + \frac{\sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}} + \frac{32}{729} + \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{128}{19683 \sqrt{- \frac{10}{27 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}} + \frac{16}{729} + 2 \sqrt[3]{- \frac{20}{6561} + \frac{5 \sqrt{10951}}{6561}}}}}\right|}}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{12 x^{2} \left(- \frac{2 x \left(4 x^{3} + 3\right)}{3 x^{4} + 5} + 1 + \frac{3 \left(\frac{8 x^{4}}{3 x^{4} + 5} - 1\right) \left(x^{4} + 3 x + 1\right)}{3 x^{4} + 5}\right)}{3 x^{4} + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1.24063582609487$$
$$x_{4} = 0.133306382521009$$
$$x_{5} = 1.36205415759127$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, 0.133306382521009\right] \cup \left[1.36205415759127, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.24063582609487\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{12 x^{2} \left(- \frac{2 x \left(4 x^{3} + 3\right)}{3 x^{4} + 5} + 1 + \frac{3 \left(\frac{8 x^{4}}{3 x^{4} + 5} - 1\right) \left(x^{4} + 3 x + 1\right)}{3 x^{4} + 5}\right)}{3 x^{4} + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1.24063582609487$$
$$x_{4} = 0.133306382521009$$
$$x_{5} = 1.36205415759127$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, 0.133306382521009\right] \cup \left[1.36205415759127, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.24063582609487\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{1}{3}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + x^4 + 3*x)/(5 + 3*x^4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{x \left(3 x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{x \left(3 x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{x \left(3 x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{x \left(3 x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5} = \frac{x^{4} - 3 x + 1}{3 x^{4} + 5}$$
- No
$$\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5} = - \frac{x^{4} - 3 x + 1}{3 x^{4} + 5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5} = \frac{x^{4} - 3 x + 1}{3 x^{4} + 5}$$
- No
$$\frac{3 x + \left(x^{4} + 1\right)}{3 x^{4} + 5} = - \frac{x^{4} - 3 x + 1}{3 x^{4} + 5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar