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y=x²-2x-4
Trazado el gráfico de la función/ y=x²-2x-4

Gráfico de la función y = y=x²-2x-4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
f(x) = x  - 2*x - 4
f(x)=(x2−2x)−4f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 2 x\right) - 4 
f = x^2 - 2*x - 4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−2x)−4=0\left(x^{2} - 2 x\right) - 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1−5x_{1} = 1 - \sqrt{5}
x2=1+5x_{2} = 1 + \sqrt{5}
Solución numérica
x1=3.23606797749979x_{1} = 3.23606797749979
x2=−1.23606797749979x_{2} = -1.23606797749979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - 2*x - 4.
−4+(02−0)-4 + \left(0^{2} - 0\right)
Resultado:
f(0)=−4f{\left(0 \right)} = -4
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−2=02 x - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, -5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2=02 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2x)−4)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 4\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−2x)−4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 4\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 2*x - 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2x)−4x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 4}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−2x)−4x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−2x)−4=x2+2x−4\left(x^{2} - 2 x\right) - 4 = x^{2} + 2 x - 4
- No
(x2−2x)−4=−x2−2x+4\left(x^{2} - 2 x\right) - 4 = - x^{2} - 2 x + 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x²-2x-4
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