Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$x^{\frac{2}{3}} \left(2 x - 4\right) + \frac{2 \left(x - 2\right)^{2}}{3 \sqrt[3]{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
3 ___
9*\/ 2
(1/2, -------)
8
(2, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, 2\right]$$