Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^x/(1+e^x)

Gráfico de la función y = e^x/(1+e^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x  
         E   
f(x) = ------
            x
       1 + E
f(x)=exex+1f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} 
f = E^x/(E^x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exex+1=0\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^x/(1 + E^x).
e01+e0\frac{e^{0}}{1 + e^{0}}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
exex+1−e2x(ex+1)2=0\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} - \frac{e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−(1−2exex+1)exex+1+1−2exex+1)exex+1=0\frac{\left(- \frac{\left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}\right) e^{x}}{e^{x} + 1} + 1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}\right) e^{x}}{e^{x} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exex+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exex+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^x/(1 + E^x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exx(ex+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(e^{x} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exx(ex+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(e^{x} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exex+1=e−x1+e−x\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}
- No
exex+1=−e−x1+e−x\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} = - \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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