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Trazado el gráfico de la función/ 4x-7x^6

Gráfico de la función y = 4x-7x^6

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                6
f(x) = 4*x - 7*x
f(x)=−7x6+4xf{\left(x \right)} = - 7 x^{6} + 4 x 
f = -7*x^6 + 4*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000000010000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−7x6+4x=0- 7 x^{6} + 4 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=225⋅7457x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{5}} \cdot 7^{\frac{4}{5}}}{7}
Solución numérica
x1=0.894112960657981x_{1} = 0.894112960657981
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*x - 7*x^6.
0⋅4−7⋅060 \cdot 4 - 7 \cdot 0^{6}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4−42x5=04 - 42 x^{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=25⋅214521x_{1} = \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 21^{\frac{4}{5}}}{21}
Signos de extremos en los puntos:
 5 ___   4/5     5 ___   4/5 
 \/ 2 *21     10*\/ 2 *21    
(-----------, --------------)
      21            63


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=25⋅214521x_{1} = \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 21^{\frac{4}{5}}}{21}
Decrece en los intervalos
(−∞,25⋅214521]\left(-\infty, \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 21^{\frac{4}{5}}}{21}\right]
Crece en los intervalos
[25⋅214521,∞)\left[\frac{\sqrt[5]{2} \cdot 21^{\frac{4}{5}}}{21}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−210x4=0- 210 x^{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−7x6+4x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 7 x^{6} + 4 x\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−7x6+4x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 7 x^{6} + 4 x\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*x - 7*x^6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−7x6+4xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x^{6} + 4 x}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−7x6+4xx)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x^{6} + 4 x}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−7x6+4x=−7x6−4x- 7 x^{6} + 4 x = - 7 x^{6} - 4 x
- No
−7x6+4x=7x6+4x- 7 x^{6} + 4 x = 7 x^{6} + 4 x
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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